2025年硕士研究生《数学一》试题（网友回忆版）
数学一
历年真题
共 22 题
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更新于 2026-09-26
一、单选题
下列每小题的选项中，只有一项是最符合题意的正确答案，多选、错选或不选均不得分。
1
已知函数
，
，则（ ）。
，，则（ ）。- A.x＝0是f（x）的极值点，也是g（x）的极值点
- B.x＝0是f（x）的极值点，（0，0）是曲线y＝g（x）的拐点
- C.x＝0是f（x）的极值点，（0，0）是曲线y＝f（x）的拐点
- D.（0，0）是曲线y＝f（x）的拐点，也是曲线y＝g（x）的拐点
，
。
，
。
2
已知级数：①
；②
，则（ ）。
；②，则（ ）。- A.①与②均条件收敛
- B.①条件收敛，②绝对收敛
- C.①绝对收敛，②条件收敛
- D.①与②均绝对收敛
。
发散，则
不是绝对收敛。
为交错级数。
递减，则
是条件收敛。
。
绝对收敛。
3
设函数f（x）在区间[0，＋∞）上可导，则（ ）。
- A.当
存在时，
存在 - B.当
存在时，
存在 - C.当
存在时，
存在 - D.当存在时，
存在
，但
，极限不存在。
，
，
，极限存在，但
极限不存在。
，则
存在，但
不存在。
。
4
设函数f（x，y）连续，则
（ ）。
（ ）。- A.
- B.
- C.
- D.
。
，
。
，则
，交换积分次序得：
5
二次型
的正惯性指数为（ ）。
的正惯性指数为（ ）。- A.0
- B.1
- C.2
- D.3
，
。
6
设α1，α2，α3，α4是n维列向量，α1，α2线性无关，α1，α2，α3线性相关，且α1＋α2＋α4＝0。在空间直角坐标系O-xyz中，关于x，y，z的方程组xα1＋yα2＋zα3＝α4的几何图形是（ ）。
- A.过原点的一个平面
- B.过原点的一条直线
- C.不过原点的一个平面
- D.不过原点的一条直线
，再由α1＋α2＋α4＝0，则
。于是Ax＝α4有无穷多解，若过原点，则α4＝0与α1，α2线性无关矛盾，因此不过原点。
，
，故两平面交于一条直线，且不过原点。
7
设n阶矩阵A，B，C满足
，给出下列四个结论：
①
；②
；
③
；④
。
其中正确结论的序号是（ ）。
，给出下列四个结论：①
；②；③
；④。其中正确结论的序号是（ ）。
- A.①②
- B.①③
- C.②④
- D.③④
故
。
，则①②正确。
，
，C＝E，满足
8
设二维随机变量（X，Y）服从正态分布N（0，0；1，1；ρ），其中ρ∈（－1，1）。若a，b为满足a2＋b2＝1的任意实数，则D（aX＋bY）的最大值为（ ）。
- A.1
- B.2
- C.1＋｜ρ｜
- D.1＋ρ2
又
，
，故选择C项。
即
，
，
，于是
，
。
9
设X1，X2，…，X20是来自总体B（1，0.1）的简单随机样本。令
，利用泊松分布近似表示二项分布的方法可得P{T≤1}≈（ ）。
，利用泊松分布近似表示二项分布的方法可得P{T≤1}≈（ ）。- A.
- B.
- C.
- D.
10
设X1，X2，…，Xn为来自正态总体N（μ，2）的简单随机样本，记
，zα表示标准正态分布的上侧α分位数，假设检验问题：H0∶μ≤1，H1∶μ＞1的显著性水平为α的检验的拒绝域为（ ）。
，zα表示标准正态分布的上侧α分位数，假设检验问题：H0∶μ≤1，H1∶μ＞1的显著性水平为α的检验的拒绝域为（ ）。- A.
- B.
- C.
- D.
，故选择D项。
二、填空题
请输入正确的答案，多个答案中间用分号隔开。
11
______。
______。
。
12
已知函数
的傅里叶级数为
，S（x）为
的和函数，则
______。
的傅里叶级数为，S（x）为的和函数，则______。
13
已知函数
，向量
，则
______。
，向量，则______。
，
，
。
。
。
。
14
已知有向曲线L是沿抛物线y＝1－x2从点（1，0）到点（－1，0）的一段，则曲线积分
______。
______。
题14解图记L0是从x＝－1到x＝1的直线，并记曲线积分
，则在L0与L所围的封闭区域可用格林公式，即：
又
，故
。
15
设矩阵
，若方程组
与
不同解，则a－b＝______。
，若方程组与不同解，则a－b＝______。
如果A可逆，三秩显然相同，则
令|A|＝0，有a－b＝－4。
16
设A，B为两个随机事件，且A与B相互独立，已知P（A）＝2P（B），
，则在事件A，B至少有一个发生的条件下，A，B中恰有一个发生的概率为______。
，则在事件A，B至少有一个发生的条件下，A，B中恰有一个发生的概率为______。
，
。
，
。
则在事件A，B至少有一个发生的条件下，A，B中恰有一个发生的概率为
三、解答题
主观题不参与评分，请参考答案自行评分。
17
计算
。
。
18
已知函数f（u）在区间（0，＋∞）内具有2阶导数，记
，若g（x，y）满足
，且g（x，x）＝1，
，求f（u）。
，若g（x，y）满足，且g（x，x）＝1，，求f（u）。
19
设函数f（x）在区间（a，b）内可导。证明：导函数f′（x）在（a，b）内严格单调增加的充分必要条件是：
对（a，b）内任意的x1，x2，x3，当x1＜x2＜x3时，
。
对（a，b）内任意的x1，x2，x3，当x1＜x2＜x3时，
。
20
设Σ是由直线
绕直线
（t为参数）旋转一周得到的曲面，Σ1是Σ介于平面x＋y＋z＝0与平面x＋y＋z＝1之间部分的外侧。计算曲面积分
绕直线（t为参数）旋转一周得到的曲面，Σ1是Σ介于平面x＋y＋z＝0与平面x＋y＋z＝1之间部分的外侧。计算曲面积分
21
设矩阵
，已知1是A的特征多项式的重根。
（1）求a的值；
（2）求所有满足Aα＝α＋β，A2α＝α＋2β的非零列向量α，β。
，已知1是A的特征多项式的重根。（1）求a的值；
（2）求所有满足Aα＝α＋β，A2α＝α＋2β的非零列向量α，β。
22
投保人的损失事件发生时，保险公司的赔付额Y与投保人的损失额X的关系为
设损失事件发生时，投保人的损失额X的概率密度为
（1）求P{Y＞0}及EY；
（2）这种损失事件在一年内发生的次数记为N，保险公司在一年内就这种损失事件产生的理赔次数记为M。假设N服从参数为8的泊松分布，在N＝n（n≥1）的条件下，M服从二项分布B（n，p），其中p＝P{Y＞0}。求M的概率分布。
设损失事件发生时，投保人的损失额X的概率密度为（1）求P{Y＞0}及EY；（2）这种损失事件在一年内发生的次数记为N，保险公司在一年内就这种损失事件产生的理赔次数记为M。假设N服从参数为8的泊松分布，在N＝n（n≥1）的条件下，M服从二项分布B（n，p），其中p＝P{Y＞0}。求M的概率分布。
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