2024年硕士研究生《数学一》试题（网友回忆版）

参考答案 C

解析：由于e^cost是偶函数，所以是奇函数，又是偶函数，所以g（x）是奇函数。故选择C项。

参考答案 A

解析：根据转换投影法，，，。
由此可得：
故选择A项。

参考答案 A

解析：方法一：

所以，。
当n＞0，。
所以，。
故选择A项。
方法二：


S（0）＝C＝ln（2＋0）＝ln2
所以，。
所以，。
故选择A项。

参考答案 B

解析：因为f′（0）＝m，所以f（x）在x＝0处连续。
从而，所以，故选择B项。
对于A项，，推不出来f′（0）＝m。
对于C项，f′（x）在x＝0处不一定连续。
对于D项，f′（x）在x＝0处极限未必存在。

参考答案 B

解析：由题意知有无穷多解，故，又由于存在两平面的法向量不共线，即线性无关，故，则，故m＝n＝2，故选择B项。

参考答案 D

解析：由于α1，α2，α3线性相关，故r（α1，α2，α3）＜3，故，得a＝1或－2，当a＝1时，α1，α3线性相关，与题意矛盾，故a＝－2，又由，得b＝2，故选择D项。

参考答案 A

参考答案 B

解析：2X＋Y～N（－2，10），Y－X～N（－2，22）。
所以，。
于是，，。故选择B项。

参考答案 D

解析：当0＜x＜1时，可得：





所以，可得：

故选择D项。

参考答案 D

解析：令Z＝|X－Y|，则FZ（z）＝P{Z≤z}＝P{|X－Y|≤z}。
当z＜0时，FZ（z）＝0。
当z≥0时，
所以，。显然Z＝|X－Y|与X同分布。故选择D项。

参考答案 6

解析：
故可得：a＝6。

参考答案 5

解析：df|_（1，1）＝3du＋4dv，fu′（1，1）＝3，fv′（1，1）＝4，又，则有：
因此，可得：

参考答案 <img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1783496487175589888.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析：由题意可得，将f（x）在[0，π]展为余弦级数，由公式可得：

参考答案 <img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1783496487611797504.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析：令x＋y＝u，等式两边同时对x求导，得到u′＝1＋y′，代入原式可得，整理得，即，求得u－arctanu＝x＋c，即y－arctan（x＋y）＝c，把初始条件代入可得，解得。

参考答案 [0，＋∞）

解析：由题意知恒成立。
设函数。

则可得：

故，可得a≥0。

参考答案 <img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1783496489314684928.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析：设随机变量X表示三次试验中成功的次数，则X～B（3，p）。
所以，。
故可得：。

参考答案 详见解析

解析：由于积分区域关于x轴对称，被积函数关于y为偶函数，故可得：

参考答案 详见解析

解析：（1）对于z＝f（x，y）＝x³＋y³－（x＋y）²＋3，有z_x′（1，1）＝－1，zy′（1，1）＝－1，从而曲面在点（1，1，1）处的一个法向量为n＝（－z_x′，－z_y′，1）＝（1，1，1），得该点处曲面的切平面方程为x＋y＋z＝3。
（2）在xOy平面中，区域D：x＋y≤3，x≥0，y≥0，在D内部求驻点，解方程组

得，有。
在边界y＝0，0＜x＜3上，对于f（x，0）＝x³－x²＋3，解得其驻点，有。
在边界x＝0，0＜y＜3上，对于f（0，y）＝y³－y²＋3，解得其驻点，有。
在边界x＋y＝3，0＜x＜3上，对于f（x，3－x）＝x3＋（3－x）3－6，解得其驻点，有。
在边界顶点，有f（0，0）＝3，f（3，0）＝f（0，3）＝21。
综上，得f（x，y）在D上的最大值为f（3，0）＝f（0，3）＝21，最小值为。

参考答案 详见解析

解析：（1）证明：令g（x）＝f（0）（1－x）＋f（1）x。
令。
因为F（0）＝0，F（1）＝0。
且F″（x）＝f″（x）＋1≥0。（|f″（x）|≤1）
所以F（x）为凹函数，因此F（x）≥0。
所以。
令。
因为F（0）＝0，F（1）＝0。
且F″（x）＝f″（x）－1≤0，（|f″（x）|≤1）。
所以F（x）为凸函数，因此F（x）≥0。
所以。
综上，。
（2）由（1）中

由第（1）中

综上，。

参考答案 详见解析

解析：

参考答案 详见解析

解析：由题设得，即，故。
由，即，得λ1＝0，λ2＝1，λ3＝－2。
当λ₁＝0时，A_x＝0，可得基础解系为：η₁＝（1，－1，1）^T。
当λ₂＝1时，（E－A）_x＝0，可得基础解系为：η₂＝（2，－2，3）^T。
当λ₃＝－2时，（－2E－A）_x＝0，可得基础解系为：η₃＝（－1，2，0）^T。
故存在可逆矩阵，使，即，则

由，得

则x_n＝8＋（－2）n，y_n＝－8＋（－2^）n＋1，z_{n^ub>＝12。}

参考答案 详见解析

解析：（1）X的概率密度为，X的分布函数为。
X_（n）的分布函数为：
FX_（n）（x）＝P{max{X₁，X₂，…，X_n}≤x}＝P{X1≤x，X₂≤x，…，X_n≤x}＝P{X₁≤x}·P{X₂≤x}……P{X_n≤x}＝Fⁿ（x）
X（n）的概率密度为。
，令，得。
（2）


令h′（c）＝0，得。
，所以当时，h（c）最小。