2024年硕士研究生《数学一》试题（网友回忆版）
一、选择题
1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1.
已知函数
，
，则（ ）。
，，则（ ）。参考答案C
解析由于ecost是偶函数，所以是奇函数，又
是偶函数，所以g（x）是奇函数。故选择C项。
是奇函数，又是偶函数，所以g（x）是奇函数。故选择C项。
2.
设P＝P（x，y，z），Q＝Q（x，y，z）均为连续函数，∑为曲面
的上侧，则
（ ）。
的上侧，则（ ）。- A.
- B.
- C.
- D.
参考答案A
解析根据转换投影法，
，
，
。
由此可得：
故选择A项。
，，。由此可得：
故选择A项。
3.
已知幂级数
的和函数为ln（2＋x），则
（ ）。
的和函数为ln（2＋x），则（ ）。- A.
- B.
- C.
- D.
参考答案A
解析方法一：
所以，
。
当n＞0，
。
所以，
。
故选择A项。
方法二：
S（0）＝C＝ln（2＋0）＝ln2
所以，
。
所以，
。
故选择A项。
所以，
。当n＞0，
。所以，
。故选择A项。
方法二：
S（0）＝C＝ln（2＋0）＝ln2
所以，
。所以，
。故选择A项。
4.
设函数f（x）在区间（－1，1）上有定义，且
，则（ ）。
，则（ ）。- A.当
时，f′（0）＝m - B.当f′（0）＝m时，
- C.当
时，f′（0）＝m - D.当f′（0）＝m时，
参考答案B
解析因为f′（0）＝m，所以f（x）在x＝0处连续。
从而
，所以
，故选择B项。
对于A项，，推不出来f′（0）＝m。
对于C项，f′（x）在x＝0处不一定连续。
对于D项，f′（x）在x＝0处极限未必存在。
从而
，所以，故选择B项。对于A项，
，推不出来f′（0）＝m。对于C项，f′（x）在x＝0处不一定连续。
对于D项，f′（x）在x＝0处极限未必存在。
5.
在空间直角坐标系O-xyz中，三张平面πi：aix＋biy＋ciz＝di（i＝1，2，3）的位置关系如图所示，记αi＝（ai，bi，ci），βi＝（ai，bi，ci，di），若
，
，则（ ）。
，，则（ ）。参考答案B
解析由题意知
有无穷多解，故
，又由于存在两平面的法向量不共线，即线性无关，故
，则
，故m＝n＝2，故选择B项。
有无穷多解，故，又由于存在两平面的法向量不共线，即线性无关，故，则，故m＝n＝2，故选择B项。
6.
设向量
，
，
，若α1，α2，α3线性相关，且其中任意两个向量均线性无关，则（ ）。
，，，若α1，α2，α3线性相关，且其中任意两个向量均线性无关，则（ ）。参考答案D
解析由于α1，α2，α3线性相关，故r（α1，α2，α3）＜3，故
，得a＝1或－2，当a＝1时，α1，α3线性相关，与题意矛盾，故a＝－2，又由
，得b＝2，故选择D项。
，得a＝1或－2，当a＝1时，α1，α3线性相关，与题意矛盾，故a＝－2，又由，得b＝2，故选择D项。
7.
设A是秩为2的3阶矩阵，α是满足Aα＝0的非零向量，若对满足βTα＝0的3维列向量β，均有Aβ＝β，则（ ）。
参考答案A
解析由Aα＝0且α≠0，故λ1＝0，设非零向量β1，β2线性无关（因为与α垂直的平面中一定存在两个线性无关的向量）且满足β1Tα＝β2Tα＝0，则Aβ1＝β1，Aβ2＝β2，又由β1，β2线性无关，故λ＝1至少为二重根，故λ1＝0，λ2＝λ3＝1，故A3的特征值为0，1，1，故tr（A3）＝0＋1＋1＝2，故选择A项。
8.
设随机变量X、Y相互独立，且X服从正态分布N（0，2），Y服从正态分布N（－2，2），若P{2X＋Y＜a}＝P{X＞Y}，则a＝（ ）。
- A.
- B.
- C.
- D.
参考答案B
解析2X＋Y～N（－2，10），Y－X～N（－2，22）。
所以，
。
于是，
，
。故选择B项。
所以，
。于是，
，。故选择B项。
9.
设随机变量X的概率密度为
，在X＝x（0＜x＜1）的条件下，随机变量Y服从区间（x，1）上的均匀分布，则Cov（X，Y）＝（ ）。
，在X＝x（0＜x＜1）的条件下，随机变量Y服从区间（x，1）上的均匀分布，则Cov（X，Y）＝（ ）。- A.
- B.
- C.
- D.
参考答案D
解析当0＜x＜1时，可得：
所以，可得：
故选择D项。
所以，可得：
故选择D项。
10.
设随机变量X、Y相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，令Z＝|X－Y|，则下列随机变量与Z同分布的是（ ）。
- A.X＋Y
- B.
- C.2X
- D.X
参考答案D
解析令Z＝|X－Y|，则FZ（z）＝P{Z≤z}＝P{|X－Y|≤z}。
当z＜0时，FZ（z）＝0。
当z≥0时，
所以，
。显然Z＝|X－Y|与X同分布。故选择D项。
当z＜0时，FZ（z）＝0。
当z≥0时，
所以，。显然Z＝|X－Y|与X同分布。故选择D项。二、填空题
9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在题中横线上。
11.
若
，则a＝（ ）。
，则a＝（ ）。参考答案6
解析
故可得：a＝6。
故可得：a＝6。
12.
设函数f（u，v）具有2阶连续偏导数，且df|（1，1）＝3du＋4dv，令y＝f（cosx，1＋x2），则
（ ）。
（ ）。参考答案5
解析df|（1，1）＝3du＋4dv，fu′（1，1）＝3，fv′（1，1）＝4，又
，则有：
因此，可得：
，则有：因此，可得：
13.
已知函数f（x）＝x＋1，若
，则
（ ）。
，则（ ）。参考答案<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1783496487175589888.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">
解析由题意可得，将f（x）在[0，π]展为余弦级数，由公式可得：
14.
微分方程
满足条件y（1）＝0的解为（ ）。
满足条件y（1）＝0的解为（ ）。参考答案<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1783496487611797504.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">
解析令x＋y＝u，等式两边同时对x求导，得到u′＝1＋y′，代入原式可得
，整理得
，即
，求得u－arctanu＝x＋c，即y－arctan（x＋y）＝c，把初始条件代入可得
，解得
。
，整理得，即，求得u－arctanu＝x＋c，即y－arctan（x＋y）＝c，把初始条件代入可得，解得。
15.
设实矩阵
，若对任意实向量
，
，
都成立，则α的取值范围是（ ）。
，若对任意实向量，，都成立，则α的取值范围是（ ）。参考答案[0，＋∞）
解析由题意知
恒成立。
设函数
。
则可得：
故
，可得a≥0。
恒成立。设函数
。则可得：
故
，可得a≥0。
16.
设随机试验每次成功的概率为P，现进行3次独立重复试验，在至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为
，则P＝（ ）。
，则P＝（ ）。参考答案<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1783496489314684928.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">
解析设随机变量X表示三次试验中成功的次数，则X～B（3，p）。
所以，
。
故可得：
。
所以，
。故可得：
。三、解答题
15～23小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.
已知平面区域
，计算
。
，计算。参考答案详见解析
解析由于积分区域关于x轴对称，被积函数关于y为偶函数，故可得：
18.
已知函数f（x，y）＝x3＋y3－（x＋y）2＋3，设T是曲面z＝f（x，y）在点（1，1，1）处的切平面，D为T与坐标平面所围成的有界区域在xOy平面上的投影。
（1）求T的方程；
（2）求f（x，y）在D上的最大值和最小值。
（1）求T的方程；
（2）求f（x，y）在D上的最大值和最小值。
参考答案详见解析
解析（1）对于z＝f（x，y）＝x3＋y3－（x＋y）2＋3，有zx′（1，1）＝－1，zy′（1，1）＝－1，从而曲面在点（1，1，1）处的一个法向量为n＝（－zx′，－zy′，1）＝（1，1，1），得该点处曲面的切平面方程为x＋y＋z＝3。
（2）在xOy平面中，区域D：x＋y≤3，x≥0，y≥0，在D内部求驻点，解方程组
得
，有
。
在边界y＝0，0＜x＜3上，对于f（x，0）＝x3－x2＋3，解得其驻点
，有
。
在边界x＝0，0＜y＜3上，对于f（0，y）＝y3－y2＋3，解得其驻点
，有
。
在边界x＋y＝3，0＜x＜3上，对于f（x，3－x）＝x3＋（3－x）3－6，解得其驻点
，有
。
在边界顶点，有f（0，0）＝3，f（3，0）＝f（0，3）＝21。
综上，得f（x，y）在D上的最大值为f（3，0）＝f（0，3）＝21，最小值为
。
（2）在xOy平面中，区域D：x＋y≤3，x≥0，y≥0，在D内部求驻点，解方程组
得
，有。在边界y＝0，0＜x＜3上，对于f（x，0）＝x3－x2＋3，解得其驻点
，有。在边界x＝0，0＜y＜3上，对于f（0，y）＝y3－y2＋3，解得其驻点
，有。在边界x＋y＝3，0＜x＜3上，对于f（x，3－x）＝x3＋（3－x）3－6，解得其驻点
，有。在边界顶点，有f（0，0）＝3，f（3，0）＝f（0，3）＝21。
综上，得f（x，y）在D上的最大值为f（3，0）＝f（0，3）＝21，最小值为
。
19.
设函数f（x）具有2阶导数，且f′（0）＝f′（1），|f″（x）|≤1，证明：
（1）当x∈（0，1）时，
；
（2）
。
（1）当x∈（0，1）时，
；（2）
。参考答案详见解析
解析（1）证明：令g（x）＝f（0）（1－x）＋f（1）x。
令
。
因为F（0）＝0，F（1）＝0。
且F″（x）＝f″（x）＋1≥0。（|f″（x）|≤1）
所以F（x）为凹函数，因此F（x）≥0。
所以
。
令
。
因为F（0）＝0，F（1）＝0。
且F″（x）＝f″（x）－1≤0，（|f″（x）|≤1）。
所以F（x）为凸函数，因此F（x）≥0。
所以
。
综上，。
（2）由（1）中
由第（1）中
综上，。
令
。因为F（0）＝0，F（1）＝0。
且F″（x）＝f″（x）＋1≥0。（|f″（x）|≤1）
所以F（x）为凹函数，因此F（x）≥0。
所以
。令
。因为F（0）＝0，F（1）＝0。
且F″（x）＝f″（x）－1≤0，（|f″（x）|≤1）。
所以F（x）为凸函数，因此F（x）≥0。
所以
。综上，
。（2）由（1）中
由第（1）中
综上，
。
20.
已知有向曲线L的球面x2＋y2＋z2＝2x与平面2x－z－1＝0的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，计算曲线积分
。
。参考答案详见解析
解析
21.
已知数列{xn}，{yn}，{zn}满足x0＝－1，y0＝0，z0＝2，且
，记
，写出满足
的矩阵A，并求An及xn，yn，zn。
，记，写出满足的矩阵A，并求An及xn，yn，zn。参考答案详见解析
解析由题设得
，即，故
。
由
，即
，得λ1＝0，λ2＝1，λ3＝－2。
当λ1＝0时，Ax＝0，可得基础解系为：η1＝（1，－1，1）T。
当λ2＝1时，（E－A）x＝0，可得基础解系为：η2＝（2，－2，3）T。
当λ3＝－2时，（－2E－A）x＝0，可得基础解系为：η3＝（－1，2，0）T。
故存在可逆矩阵
，使
，即
，则
由，得
则xn＝8＋（－2）n，yn＝－8＋（－2）n＋1，znub>＝12。
，即，故。由
，即，得λ1＝0，λ2＝1，λ3＝－2。当λ1＝0时，Ax＝0，可得基础解系为：η1＝（1，－1，1）T。
当λ2＝1时，（E－A）x＝0，可得基础解系为：η2＝（2，－2，3）T。
当λ3＝－2时，（－2E－A）x＝0，可得基础解系为：η3＝（－1，2，0）T。
故存在可逆矩阵
，使，即，则由
，得则xn＝8＋（－2）n，yn＝－8＋（－2）n＋1，znub>＝12。
22.
设总体X服从[0，θ]上的均匀分布，其中θ∈（0，＋∞）为未知参数，X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，记X（n）＝max{X1，X2，…，Xn}，Tc＝cX（n）。
（1）求c，使得Tc是θ的无偏估计；
（2）记h（c）＝E（Tc－θ）2，求c使得h（c）最小。
（1）求c，使得Tc是θ的无偏估计；
（2）记h（c）＝E（Tc－θ）2，求c使得h（c）最小。
参考答案详见解析
解析（1）X的概率密度为
，X的分布函数为
。
X（n）的分布函数为：
FX（n）（x）＝P{max{X1，X2，…，Xn}≤x}＝P{X1≤x，X2≤x，…，Xn≤x}＝P{X1≤x}·P{X2≤x}……P{Xn≤x}＝Fn（x）
X（n）的概率密度为
。
，令
，得
。
（2）
令h′（c）＝0，得
。
，所以当时，h（c）最小。
，X的分布函数为。X（n）的分布函数为：
FX（n）（x）＝P{max{X1，X2，…，Xn}≤x}＝P{X1≤x，X2≤x，…，Xn≤x}＝P{X1≤x}·P{X2≤x}……P{Xn≤x}＝Fn（x）
X（n）的概率密度为
。，令，得。（2）
令h′（c）＝0，得
。，所以当时，h（c）最小。