2021年硕士研究生《数学一》试题（网友回忆版）
数学一
历年真题
共 22 题
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更新于 2026-09-26
一、选择题
1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1
函数
，在x＝0处（ ）。
，在x＝0处（ ）。- A.连续且取极大值
- B.连续且取极小值
- C.可导且导数为0
- D.可导且导数不为0
故f（x）在x＝0处连续。因为
即f′（0）＝1/2，故选D项。
2
设函数f（x，y）可微，且f（x＋1，ex）＝x（x＋1）2，f（x，x2）＝2x2lnx，则df（1，1）＝（ ）。
- A.dx＋dy
- B.dx－dy
- C.dy
- D.－dy
将
分别代入（1）（2）式有
联立可得f1′（1，1）＝0，f2′（1，1）＝1，df（1，1）＝f1′（1，1）dx＋f2′（1，1）dy＝dy，故选C项。
3
设函数
在x＝0处的3次泰勒多项式为ax＋bx2＋cx3，则（ ）。
在x＝0处的3次泰勒多项式为ax＋bx2＋cx3，则（ ）。- A.a＝1，b＝0，c＝－7/6
- B.a＝1，b＝0，c＝7/6
- C.a＝－1，b＝－1，c＝－7/6
- D.a＝－1，b＝－1，c＝7/6
4
设函数f（x）在区间[0，1]上连续，则
（ ）。
（ ）。- A.
- B.
- C.
- D.
故选B项。
5
二次型f（x1，x2，x3）＝（x1＋x2）2＋（x2＋x3）2－（x3ub>－x>1）2的正惯性指数和负惯性指数依次为（ ）。
- A.2，0
- B.1，1
- C.2，1
- D.1，2
，故特征多项式为
令上式等于0，得特征值为－1，3，0，故该二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1，选B项。
6
已知
，记1＝1，2＝2－k1，3＝3－l11－l22，若1，2，3两两正交，则l1，l2依次为（ ）。
，记1＝1，2＝2－k1，3＝3－l11－l22，若1，2，3两两正交，则l1，l2依次为（ ）。- A.5/2，1/2
- B.－5/2，1/2
- C.5/2，－1/2
- D.－5/2，－1/2
故
故选A项。
7
设A，B为n阶实矩阵，下列不成立的是（ ）。
- A.
- B.
- C.
- D.
B项，AB的列向量可由A的列线性表示，故
C项，BA的列向量不一定能由A的列线性表示；
故本题选C项。
8
设A，B为随机事件，且0＜P（B）＜1，下列命题中不成立的是（ ）。
- A.若P（A｜B）＝P（A），则P（A｜）＝P（A）
- B.若P（A｜B）＞P（A），则P（｜）＝P（）
- C.若P（A｜B）＞P（A｜），则P（A｜B）＞P（A）
- D.若P（A｜A∪B）＞P（｜A∪B），则P（A）＞P（B）
9
设（X1，Y1），（X2，Y2），…，（Xn，Yn）是来自总体N（μ1，μ2，σ12，σ2sub>2，ρ）的简单随机样本，令
，则（ ）。
，则（ ）。- A.是θ的无偏估计，
- B.不是θ的无偏估计，
- C.是θ的无偏估计，
- D.不是θ的无偏估计，
则是θ的无偏估计。
故选C项。
10
设X1，X2，…，X16是来自总体N（μ，4）的简单随机样本，考虑假设检验问题：H0：μ≤10，H1：μ＞10，Φ（x）表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为W{≥11}，其中
，则μ＝11.5时，该检验犯第二类错误的概率为（ ）。
，则μ＝11.5时，该检验犯第二类错误的概率为（ ）。- A.1－Φ（0.5）
- B.1－Φ（1）
- C.1－Φ（1.5）
- D.1－Φ（2）
二、填空题
9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在题中横线上。
11
。
。
12
设参数y＝y（x）由参数方程
确定，则
。
确定，则。
，得
，将t＝0代入得
。
13
微分方程x2y＋xy′－4y＝0满足条件y（1）＝1，y′（1）＝2，得解为y＝。
，原方程化为
，特征方程为λ2－4＝0，特征根为λ1＝2，λ2＝－2，则通解为y＝C1e2t＋C2e－2t＝C1x2＋C2x<sup>－2，y′＝2C1x－2C2x<sup>－3，将初始条件y（1）＝1，y′（1）＝2代入得C1＝1，C2＝0，故满足初始条件的解为y＝x2。
14
设Σ为空间区域
表面的外侧，则曲面积分
。
表面的外侧，则曲面积分。
。由对称性得，
，则
。
15
设A＝aij为3阶矩阵，Aij为代数余子式，若A的每行元素之和均为2，且A＝3，A11＋A21＋A31＝。
16
甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球。令X，Y分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X与Y的相关系数为。
计算得ρXY＝1/5。
三、解答题
15～23小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
（本题满分10分）
求极限
。
求极限
。
18
（本题满分12分）
设
，求级数
的收敛域及和函数。
设
，求级数的收敛域及和函数。
19
（本题满分12分）
已知曲线C：
，求C上的点到xoy坐标面距离的最大值。
已知曲线C：
，求C上的点到xoy坐标面距离的最大值。
20
（本题满分12分）
设D⊂R2是有界连通闭区域，
取得最大值的积分区域记为D1，
（1）求I（D1）的值。
（2）计算
，其中∂D1是D1的正边界。
设D⊂R2是有界连通闭区域，
取得最大值的积分区域记为D1，（1）求I（D1）的值。
（2）计算
，其中∂D1是D1的正边界。
21
（本题满分12分）
已知
，
（1）求正交矩阵P，使得PTAP为对角矩阵；
（2）求正交矩阵C，使得C2＝（a＋3）E－A。
已知
，（1）求正交矩阵P，使得PTAP为对角矩阵；
（2）求正交矩阵C，使得C2＝（a＋3）E－A。
22
（本题满分12分）
在区间（0，2）上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为X，较长的一段长度记为Y，令Z＝Y/X
（1）求X的概率密度；
（2）求Z的概率密度；
（3）求E（X/Y）。
在区间（0，2）上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为X，较长的一段长度记为Y，令Z＝Y/X
（1）求X的概率密度；
（2）求Z的概率密度；
（3）求E（X/Y）。
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