2021年硕士研究生《数学一》试题（网友回忆版）

数学一 / 历年真题　共 22 题　更新于 2026-09-27

一、选择题

1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

函数

，在x＝0处（　）。

A.连续且取极大值
B.连续且取极小值
C.可导且导数为0
D.可导且导数不为0

参考答案D

解析因为

故f（x）在x＝0处连续。因为
题目图片

即f′（0）＝1/2，故选D项。

设函数f（x，y）可微，且f（x＋1，e^x）＝x（x＋1）²，f（x，x²）＝2x²lnx，则df（1，1）＝（　）。

A.dx＋dy
B.dx－dy
C.dy
D.－dy

参考答案C

解析记∂f/∂x＝f₁′，记∂f/∂y＝f₂′，则题给两式对x求导得
题目图片

将

分别代入（1）（2）式有
题目图片

联立可得f₁′（1，1）＝0，f₂′（1，1）＝1，df（1，1）＝f₁′（1，1）dx＋f₂′（1，1）dy＝dy，故选C项。

设函数

在x＝0处的3次泰勒多项式为ax＋bx²＋cx³，则（　）。

A.a＝1，b＝0，c＝－7/6
B.a＝1，b＝0，c＝7/6
C.a＝－1，b＝－1，c＝－7/6
D.a＝－1，b＝－1，c＝7/6

参考答案A

解析根据麦克劳林公式有
题目图片

与题给多项式相比较，得a＝1，b＝0，c＝－7/6，故选A项。

设函数f（x）在区间[0，1]上连续，则题目图片

（　）。

参考答案B

解析由定积分的定义知，将（0，1）分成n份，取中间点的函数值，则
题目图片

故选B项。

二次型f（x₁，x₂，x₃）＝（x₁＋x₂）2＋（x₂＋x₃）2－（x_3ub>－x>1）²的正惯性指数和负惯性指数依次为（　）。

A.2，0
B.1，1
C.2，1
D.1，2

参考答案B

解析f（x₁，x₂，x₃）＝（x₁＋x₂）2＋（x₂＋x₃）2－（x3－x1）2＝2x22＋2x1x2＋2x2>x3＋2x3x1
所以题目图片

，故特征多项式为

令上式等于0，得特征值为－1，3，0，故该二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1，选B项。

已知

，记₁＝₁，₂＝₂－k₁，₃＝₃－l₁₁－l₂₂，若₁，₂，₃两两正交，则l₁，l₂依次为（　）。

A.5/2，1/2
B.－5/2，1/2
C.5/2，－1/2
D.－5/2，－1/2

参考答案A

解析利用斯密特正交化方法知1＝1，
题目图片

故

故选A项。

设A，B为n阶实矩阵，下列不成立的是（　）。

参考答案C

解析A项

B项，AB的列向量可由A的列线性表示，故
题目图片

C项，BA的列向量不一定能由A的列线性表示；
D项，BA的行向量可由A的行线性表示
题目图片

故本题选C项。

设A，B为随机事件，且0＜P（B）＜1，下列命题中不成立的是（　）。

A.若P（A｜B）＝P（A），则P（A｜）＝P（A）
B.若P（A｜B）＞P（A），则P（｜）＝P（）
C.若P（A｜B）＞P（A｜），则P（A｜B）＞P（A）
D.若P（A｜A∪B）＞P（｜A∪B），则P（A）＞P（B）

参考答案D

解析由条件概率公式以及和事件的运算公式得
题目图片

因为P（AA∪B）＞P（A∪B），故有P（A）＞P（B）－P（AB），故选D项。

设（X₁，Y₁），（X₂，Y₂），…，（X_n，Y_n）是来自总体N（μ₁，μ₂，σ₁2，σ_{2sub>²，ρ）的简单随机样本，令，则（　）。}

A.是θ的无偏估计，
B.不是θ的无偏估计，
C.是θ的无偏估计，
D.不是θ的无偏估计，

参考答案C

解析因为X，Y是二维正态分布，所以与也服从二维正态分布，则－也服从二维正态分布，即
题目图片

则是θ的无偏估计。
又由方差公式得
题目图片

故选C项。

10.

设X₁，X₂，…，X₁₆是来自总体N（μ，4）的简单随机样本，考虑假设检验问题：H₀：μ≤10，H₁：μ＞10，Φ（x）表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为W{≥11}，其中题目图片

，则μ＝11.5时，该检验犯第二类错误的概率为（　）。

A.1－Φ（0.5）
B.1－Φ（1）
C.1－Φ（1.5）
D.1－Φ（2）

参考答案B

解析所求概率为P{＜11}，～N（11.5，4），故
题目图片

二、填空题

9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在题中横线上。

11.

。

参考答案π/4

解析

12.

设参数y＝y（x）由参数方程题目图片

确定，则

。

参考答案2/3

解析由

，得

，将t＝0代入得

。

13.

微分方程x²y＋xy′－4y＝0满足条件y（1）＝1，y′（1）＝2，得解为y＝。

参考答案x2

解析令x＝e^t，则题目图片

，原方程化为

，特征方程为λ²－4＝0，特征根为λ1＝2，λ2＝－2，则通解为y＝C1e^2t＋C2e^－2t＝C1x²_＋C2x<_sup>－2_，y′＝2C₁x－2C2x__－3，将_初始条件y_（1）＝1，y′（1）＝2代入得C1＝1，C2＝0，故满_足初始条件_的解为y＝x²。

14.

设Σ为空间区域

表面的外侧，则曲面积分题目图片

。

参考答案4π

解析由高斯公式得

。由对称性得，

，则

。

15.

设A＝a_ij为3阶矩阵，A_ij为代数余子式，若A的每行元素之和均为2，且A＝3，A₁₁＋A₂₁＋A₃₁＝。

参考答案3/2

解析由于A的每行元素之和均为2，所以AX＝2X，其中X＝（1，1，1）^T，因此λ＝2为A的特征值，属于此特征值的特征向量为＝（1，1，1）^T。A＝2⇒A^*A＝2A^*⇒A＝2A^*⇒A^*＝（A/2）a，因此A/2＝3/2是A^*的一个特征值且对应的特征向量为＝（1，1，1）^T，因此
题目图片

16.

甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球。令X，Y分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X与Y的相关系数为。

参考答案1/5

解析X，Y的联合分布律为
题目图片

X的分布律为

Y的分布律为

根据协方差的定义式计算得Cov（X，Y）＝E（XY）－E（X）E（Y）＝3/10－1/2×1/2＝1/20，
又DX＝1/4，DY＝1/4，由题目图片

计算得ρ_XY＝1/5。

三、解答题

15～23小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.

（本题满分10分）
求极限题目图片

。

参考答案<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/15c716923d0c4d6d9c5526058b4818c3.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">又因为 <img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/b0a4de9a24ee4df4801a2873a13c634b.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/a030be8cc76941488be878cd7fd545b0.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/eb9753417a0d4e1e8202d89845a3c84f.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">将上式代入得 <img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/be315c92229144528e182e1e8fb282df.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析

18.

（本题满分12分）
设题目图片

，求级数

的收敛域及和函数。

参考答案<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/ea23155a7bc7449b802c167e110c129c.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，当x＞0时，e－nx收敛； <img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/8b6ed4c9ae7d4c999921ec810d1b73cb.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，因此收敛半径R＝1/ρ＝1，收敛域为[－1，1]。综上级数的 收敛域为（0，1]， 将S（x）分成两部分讨论， <img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/47233a020f3a462dbc3acbd1518849a3.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/e909f25b413946b9bebaabd7785810aa.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/afa94fccda454a7fbb2213bacf435bf9.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">综上，将两式求和可得 <img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/32ddcaa89463420f87561f7f33eec3c3.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析

19.

（本题满分12分）
已知曲线C：题目图片

，求C上的点到xoy坐标面距离的最大值。

参考答案构建拉格朗日函数 <img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/6897fefd6207470cae6b5493904acf15.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">求导得 Lx′＝2xλ＋4μ＝0 Ly′＝4yλ＋2μ＝0 Lz′＝2z－λ＋μ＝0 联立曲线方程<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/febb3cdfea2d44648741d2de58894837.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，解得驻点：（4，1，12），（－8，－2，66）。 C上的点（－8，－2，66）到xoy面距离最大，为66。

解析

20.

（本题满分12分）
设D⊂R²是有界连通闭区域，题目图片

取得最大值的积分区域记为D₁，
（1）求I（D₁）的值。
（2）计算题目图片

，其中∂D₁是D₁的正边界。

参考答案（1）由二重积分的几何意义知，当且仅当4－x2－y2在D上大于0时，I（D）达到最大，故D1：x2＋y2≤4，则<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/dd206d970c8a41768b789cfc5444d037.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">。 （2）补D2：x2＋4y2＝r2（r很小），取D<sub>2的方向为顺时针方向， <img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/20dd9e07637b4b96aed175c7bcca094e.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析

21.

（本题满分12分）
已知题目图片

，
（1）求正交矩阵P，使得P^TAP为对角矩阵；
（2）求正交矩阵C，使得C²＝（a＋3）E－A。

参考答案（1）由 <img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/9fcf05382c7c49d6a1c373b6503b38ec.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">得 λ1＝a＋2，λ2＝λ3＝a－1 当λ1＝a＋2时，<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/e48600942f99476ab5bb5fcbe4aa9d79.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">的特征向量为<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/a77d1ed38d174163ab46e87ca85f8bc0.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">； 当λ2＝λ3＝a－1时，<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2783b57126494353b92951ece83c0922.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">的特征向量为<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/adc1873aef604bd1be3dc6f60a4cd556.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">。 令 <img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/6af659c7057644d387f9f7e8d29b876d.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">则 <img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/235d406dd2724fbb87bf79608889c4d9.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">（2） <img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/47f473bc064c40c88f9c4941179c0a66.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">故 <img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/f87b099745ef45c39c4c1a7b25106490.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析

22.

（本题满分12分）
在区间（0，2）上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为X，较长的一段长度记为Y，令Z＝Y/X
（1）求X的概率密度；
（2）求Z的概率密度；
（3）求E（X/Y）。

参考答案（1）由题知：X服从（0，1）上的均匀分布，则概率密度函数为<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/67093254baf2474998e17323af1cf3f3.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">。 （2）由Y＝2－X，即Z＝（2－X）/X，先求Z的分布函数： <img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/134e9ee02e404944bed4f21b39468d8d.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">当z＜1时，Fz（z）＝0； 当z≥1时，<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/88cbfbde6514451baf053630284df463.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">。 故Z的概率密度函数为 <img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/c87fa6f94dd3478eb8cccab8a81a03dd.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">（3） <img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/7ed7b61cf78e4d549ba3115cabd63bf7.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">