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2025年硕士研究生《数学一》试题（网友回忆版）

数学一 / 历年真题　共 22 题　更新于 2026-09-27

一、单选题

下列每小题的选项中，只有一项是最符合题意的正确答案，多选、错选或不选均不得分。

1.
已知函数题目图片，题目图片，则（　）。
  • A.x＝0是f（x）的极值点，也是g（x）的极值点
  • B.x＝0是f（x）的极值点，（0，0）是曲线y＝g（x）的拐点
  • C.x＝0是f（x）的极值点，（0，0）是曲线y＝f（x）的拐点
  • D.（0，0）是曲线y＝f（x）的拐点，也是曲线y＝g（x）的拐点

参考答案B

解析题目图片，题目图片。
f′（0）＝0，f″（0）＝1＞0，则x＝0是f（x）的极值点。
又题目图片，题目图片。
g′（0）＝0，g″（0）＝0，g″（x）在x＝0的左右邻域变号，则（0，0）是曲线y＝g（x）的拐点。
2.
已知级数：①题目图片；②题目图片，则（　）。
  • A.①与②均条件收敛
  • B.①条件收敛，②绝对收敛
  • C.①绝对收敛，②条件收敛
  • D.①与②均绝对收敛

参考答案B

解析题目图片。
题目图片发散，则题目图片不是绝对收敛。
题目图片为交错级数。
题目图片递减，则题目图片是条件收敛。
又因为题目图片。
故题目图片绝对收敛。
3.
设函数f（x）在区间[0，＋∞）上可导，则（　）。
  • A.当题目图片存在时，题目图片存在
  • B.当题目图片存在时，题目图片存在
  • C.当题目图片存在时，题目图片存在
  • D.当题目图片存在时，题目图片存在

参考答案D

解析A项错误，反例：题目图片，但题目图片，极限不存在。
B项错误，反例：题目图片，题目图片，题目图片，极限存在，但题目图片极限不存在。
C项错误，反例：题目图片，则题目图片存在，但题目图片不存在。
D项正确，题目图片。
4.
设函数f（x，y）连续，则题目图片（　）。
  • A.题目图片
  • B.题目图片
  • C.题目图片
  • D.题目图片

参考答案A

解析由题意可知，此二重积分的积分区域为：题目图片。
记题目图片，题目图片。
且题目图片，则题目图片，交换积分次序得：
题目图片
5.
二次型题目图片的正惯性指数为（　）。
  • A.0
  • B.1
  • C.2
  • D.3

参考答案B

解析题目图片，题目图片。
解得：λ1＝0，λ2＝2，λ3＝－1，故正惯性指数为1。
6.
设α1，α2，α3，α4是n维列向量，α1，α2线性无关，α1，α2，α3线性相关，且α1＋α2＋α4＝0。在空间直角坐标系O-xyz中，关于x，y，z的方程组xα1＋yα2＋zα3＝α4的几何图形是（　）。
  • A.过原点的一个平面
  • B.过原点的一条直线
  • C.不过原点的一个平面
  • D.不过原点的一条直线

参考答案D

解析记A＝（α1，α2，α3），由α1，α2线性无关，α1，α2，α3线性相关，可得r（A）＝2。记题目图片，再由α1＋α2＋α4＝0，则题目图片。于是Ax＝α4有无穷多解，若过原点，则α4＝0与α1，α2线性无关矛盾，因此不过原点。
由上述分析可知题目图片，题目图片，故两平面交于一条直线，且不过原点。
7.
设n阶矩阵A，B，C满足题目图片，给出下列四个结论：
①题目图片；②题目图片；
③题目图片；④题目图片。
其中正确结论的序号是（　）。
  • A.①②
  • B.①③
  • C.②④
  • D.③④

参考答案A

解析方法一：
题目图片故题目图片。
则题目图片，则①②正确。
方法二：
采用排除法。取题目图片，题目图片，C＝E，满足题目图片，则r（A）＝1，r（B）＝1，r（C）＝2，排除③④，故选择A项。
8.
设二维随机变量（X，Y）服从正态分布N（0，0；1，1；ρ），其中ρ∈（－1，1）。若a，b为满足a2＋b2＝1的任意实数，则D（aX＋bY）的最大值为（　）。
  • A.1
  • B.2
  • C.1＋｜ρ｜
  • D.1＋ρ2

参考答案C

解析方法一：
题目图片又题目图片，题目图片，故选择C项。
方法二：
题目图片题目图片即题目图片，题目图片，题目图片，于是题目图片，题目图片。
所以最大值是1＋|ρ|，故选择C项。
9.
设X1，X2，…，X20是来自总体B（1，0.1）的简单随机样本。令题目图片，利用泊松分布近似表示二项分布的方法可得P{T≤1}≈（　）。
  • A.题目图片
  • B.题目图片
  • C.题目图片
  • D.题目图片

参考答案C

解析由题意可知T～B（20，0.1），np＝20×0.1＝2。
题目图片
10.
设X1，X2，…，Xn为来自正态总体N（μ，2）的简单随机样本，记题目图片，zα表示标准正态分布的上侧α分位数，假设检验问题：H0∶μ≤1，H1∶μ＞1的显著性水平为α的检验的拒绝域为（　）。
  • A.题目图片
  • B.题目图片
  • C.题目图片
  • D.题目图片

参考答案D

解析题目图片，故选择D项。

二、填空题

请输入正确的答案，多个答案中间用分号隔开。

11.
题目图片______。

参考答案－1

解析题目图片。
12.
已知函数题目图片的傅里叶级数为题目图片，S（x）为题目图片的和函数，则题目图片______。

参考答案<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017630669377536.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析由傅里叶级数可知对函数f（x）做了周期为2的奇延拓，故由函数的周期性与狄利克雷收敛定理，可得：
题目图片
13.
已知函数题目图片，向量题目图片，则题目图片______。

参考答案1

解析由题意可知，题目图片，题目图片，题目图片。
则在x＝1，y＝1，z＝1处有题目图片。
对于向量题目图片，归一化可得题目图片。
故题目图片。
14.
已知有向曲线L是沿抛物线y＝1－x2从点（1，0）到点（－1，0）的一段，则曲线积分题目图片______。

参考答案<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017591217754112.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析由题意可作曲线如题14解图所示。
题目图片题14解图记L0是从x＝－1到x＝1的直线，并记曲线积分题目图片，则在L0与L所围的封闭区域可用格林公式，即：
题目图片又题目图片，故题目图片。
15.
设矩阵题目图片，若方程组题目图片与题目图片不同解，则a－b＝______。

参考答案－4

解析由题知，题目图片，若题目图片与题目图片同解，则三秩相同，即
题目图片如果A可逆，三秩显然相同，则题目图片与题目图片同解，于是要想题目图片与题目图片不同解，即A不可逆，于是|A|＝0。根据行列式的倍加性质易得：
题目图片令|A|＝0，有a－b＝－4。
16.
设A，B为两个随机事件，且A与B相互独立，已知P（A）＝2P（B），题目图片，则在事件A，B至少有一个发生的条件下，A，B中恰有一个发生的概率为______。

参考答案<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017595588218880.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析题目图片
题目图片题目图片，题目图片。
可得：题目图片，题目图片。
题目图片则在事件A，B至少有一个发生的条件下，A，B中恰有一个发生的概率为
题目图片

三、解答题

主观题不参与评分，请参考答案自行评分。

17.
计算题目图片。

参考答案<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017598327099392.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

18.
已知函数f（u）在区间（0，＋∞）内具有2阶导数，记题目图片，若g（x，y）满足题目图片，且g（x，x）＝1，题目图片，求f（u）。

参考答案令<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017598507454464.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，则<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017598541008896.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017598603923456.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">。<br />又<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017598780084224.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017598876553216.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，故f′（1）＝2。<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017598914301952.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"><br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017598956244992.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"><br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017599010770944.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"><br />将①、②、③代入<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017599052713984.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">化简得：<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017599098851328.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，即<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017599140794368.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">。<br />令p＝f′（u），则<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017599182737408.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，可得：<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017599270817792.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">又<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017599379869696.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，故<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017599417618432.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">。<br />因此，<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017599451172864.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，积分得：<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017600403279872.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">。<br />又f（1）＝C1＝1，故可得：<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017600445222912.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">。

19.
设函数f（x）在区间（a，b）内可导。证明：导函数f′（x）在（a，b）内严格单调增加的充分必要条件是：
对（a，b）内任意的x1，x2，x3，当x1＜x2＜x3时，题目图片。

参考答案充分性。如题19解图。<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017600554274816.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">题19解图任取x1＜t1＜x2＜t2＜x3∈（a，b），由k1＜k2，即<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017601678348288.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">。<br />令<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017601724485632.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，根据极限保号性有<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017601762234368.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">。<br />由k3＜k4，即<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017601934200832.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">。<br />令<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017601992921088.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，根据极限保号性有<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017602043252736.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">。<br />由题设可知f′（x3）＞f′（x1）。由x1，x3的任意性，可得f′（x）在（a，b）内严格单调递增，充分性得证。<br />再证必要性。即已知f′（x）单调递增，在[x1，x2]，[x2，x3]上分别使用拉格朗日中值定理，可知存在ξ1∈（x1，x2），ξ2∈（x2，x3），使<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017602085195776.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017602152304640.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">。<br />又由f′（x）单调递增，且ξ1＜ξ2知，f′（ξ1）＜f′（ξ2），即<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017602223607808.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，必要性得证。<br />综上所述，充要条件得证。

20.
设Σ是由直线题目图片绕直线题目图片（t为参数）旋转一周得到的曲面，Σ1是Σ介于平面x＋y＋z＝0与平面x＋y＋z＝1之间部分的外侧。计算曲面积分
题目图片

参考答案直线<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017602265550848.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">（记为<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017602450100224.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">）绕直线x＝y＝z（记为<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017602533986304.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">）旋转一周所满足的条件为：<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017602567540736.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">其中点P（0，0，z1）是直线<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017602450100224.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">上一点，点M（x，y，z）是曲面Σ上一点，且Σ是圆锥曲面。<br />根据条件可得方程组为：<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017602668204032.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">也即x2＋y2＋z2＝（x＋y＋z）2，于是有曲面Σ：xy＋yz＋xz＝0。<br />当x＋y＋z＝1与Σ相交时，有z1＝1。又原点O到平面x＋y＋z＝1的距离为d，且<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017602722729984.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017602794033152.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">题20解图（a）又平面x＋y＋z＝1与圆锥曲面Σ的交线为一个半径为r的圆形区域，且<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017604698247168.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">。<br />故题干所求Σ1为如题20解图（b）所示的圆锥面外侧。<br />命Σ0为x＋y＋z＝1被Σ1所截平面（如题20解图（b）所示），且该平面方向向上。<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017604740190208.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">题20解图（b）则<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017611237167104.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">。<br />而<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017611329441792.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">故<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017612302520320.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">。

21.
设矩阵题目图片，已知1是A的特征多项式的重根。
（1）求a的值；
（2）求所有满足Aα＝α＋β，A2α＝α＋2β的非零列向量α，β。

参考答案（1）<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017613405622272.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">。<br />可得（1－a）（1＋1）＋4＝0，故a＝3。<br />（2）由（1）可知<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017613514674176.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017613552422912.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，得A中λ1＝λ2＝λ3＝1。<br />Aα＝α＋β⇒2Aα＝2α＋2β⇒2Aα－A2α＝α⇒（A－E）2α＝0<br />其中<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017613632114688.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，故α为任意的非零向量，<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017613682446336.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，a1，a2，a3不全为零。<br />则<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017613745360896.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，其中a1＋a2≠2a3。<br />综上，<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017613816664064.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017613866995712.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，且a1，a2，a3不全为零，a1＋a2≠2a3。

22.
投保人的损失事件发生时，保险公司的赔付额Y与投保人的损失额X的关系为
题目图片设损失事件发生时，投保人的损失额X的概率密度为
题目图片（1）求P{Y＞0}及EY；
（2）这种损失事件在一年内发生的次数记为N，保险公司在一年内就这种损失事件产生的理赔次数记为M。假设N服从参数为8的泊松分布，在N＝n（n≥1）的条件下，M服从二项分布B（n，p），其中p＝P{Y＞0}。求M的概率分布。

参考答案（1）<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017614055739392.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"><br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017614101876736.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">（2）<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017614168985600.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017614202540032.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，则<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1978017614340952064.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">