中国精算师考试《精算模型》考前点题卷一

参考答案 C

解析：解法①：因为是严格递增的，且，则。由于服从的指数分布，即，有，于是，故。
解法②：因为是严格递增的，且。已知服从的指数分布，故，所以。

参考答案 C

解析：由于由1递减到0，则由0递减到，所以
由0递增到。令，则Z服从[0,1]上的均匀分布，即对所有z的值，。对于，其反函数为，故，其中是的递减函数。所以。

参考答案 B

解析：由题意可得：
（1）
（2）
（4）由于，所以
。

参考答案 E

解析：由于，其中，所以。

参考答案 C

解析：由于，故

参考答案 D

解析：解法①：由已知条件得：

E（U）=M′_U （t）｜_t=0 =18（1－2t）-10｜_t=0 =18E（U2）=M′′_U ^（t）｜_{t=0 <^/sub>=360（1－2t）-11｜t=^{0 <}/sub>=360故=E（U²）－E²（U）=360－18²=36。
解法②：由随机变量U的矩母函数可知，U服从分布，所以=9×2=18，=9×2²=36。}

参考答案 E

解析：由已知条件得：
E（X）=1×0.4+2×0.3+3×0.2+4×0.1=2，
E（X²）=1²×0.4+2²×0.3+3²×0.2+4²×0.1=5，
=E（X²）－E²（X）=1；
E（S）==0.04n，
=n²[p（1－p）E²（X）+]
=n²[0.02×0.98×2²+0.02×1]
=0.0984n²，
故，即，故。

参考答案 D

解析：若该保险公司对每张保单的免赔额为2，则当理赔发生时，个别理赔额的分布如下表所示。

理赔发生的概率为：0.04×P（X＞1）＝0.04×0.5=0.02，
E（X）=（3×0.4+8×0.04+13×0.2）×0.02＝0.14，
E（S）＝2000×0.14=280，
＝Var（B）q+E²（B）q（1－q）
＝14×0.02+7²×0.02×0.98
＝1.2404，
＝2000×1.2404=2480.8，
E（S）+＝2760.8。

参考答案 D

解析：由已知，有X～Gamma（k,2），故

故，

参考答案 A

解析：理赔次数N服从泊松分布，其矩母函数为：；
由于泰勒展式，
所以个体理赔额的矩母函数为：

故理赔总额S的矩母函数为：

故S服从几何分布。

参考答案 E

解析：由已知，有

故

故

参考答案 C

解析：由已知条件得：
20=E{I（X）}=
解得：α=0.4；
又20=E{I_d（X）}=
解得：d=36.754。故=36.754+0.4=37.15。
13~14题的条件如下：
从t=0开始观察一个由8人组成的团体，直到他们全部死亡，仅记录发生死亡的时间（以天为单位）。假设t=0的初始事件发生在一天的中点，死亡事件也发生在那天的中点，那么，所有的生存期限均为整数。所观察的生存期限为3，4，5，5，7，10，10，12。S^o（t）是观察的样本空间的经验生存函数。

参考答案 E

解析：由于S^o（t）是右连续的，t=5时，，而=12是最后一次死亡事件发生的时间，则S^o（12）=0。S^o（t）的图形如下图所示。

参考答案 A

解析：（1）随机变量T在区间（0，15]上服从均匀分布，则=0.6，故

；（2）由样本的观察值得：S^o（6）=0.5，故。

参考答案 D

解析：在第2次死亡后，，其中为初始样本容量，由已知条件得，即11－71+30=0，解得：=6（其中n=5/11舍去）。故。

参考答案 E

解析：因为是完整数据，则S（12）的乘积极限估计为，所以在t=12时，有7个生存者。即t=12以前发生了3次死亡，于是H（12）的Nelson-Aalen估计量为
，故。

参考答案 A

解析：由于损失额服从指数分布，所以应把理赔额数据还原成实际损失额数据，又免赔额为5，于是可以得到被截断样本数据为8、9、13、15、17、23、27、40。
由于指数分布的密度函数为：

因此似然函数为：

其中为示性函数，所以当时，。又因为是一个关于的单调递减函数，因此当时，取得最大值。即极大似然估计为。

参考答案 D

解析：对于帕累托分布，密度函数为，因此似然函数为：

对数似然函数：

令则

得到=1.26。

令，则是P（X≤10）的极大似然估计，将代入，得：
＝0.582

参考答案 E

解析：将理赔额还原成实际损失额：3、4、8、10、12、16、16、16.。而赔偿限额为16，有如下似然函数：

根据分布函数得出和的值，代入似然函数得到：，则对数似然函数，令，得到=13.8。

参考答案 D

解析：因为最终要估计的是初始损失额的参数，所以先将理赔额还原成初始损失额，，于是可以得到被截断样本数据为11、12、12、14、16、22、26、39。
则似然函数：

从而可以得到对数似然函数：，令，得到=14。

参考答案 B

解析：由于样本容量只有21个，故将这21个数据分成如下四个小组：（-∞，2.39]，[2.4，5.79]，[5.8，11.59]，[11.60，+∞），那么计算出这21个数据落在这4个区间的概率如下：

这样21个数据落在四个区间的理论频率是相等的，即：E₁=E₂=E₃=E₄=21×0.25=5.25。则数据的分组情况如下表所示。

故统计量的值为：

参考答案 C

解析：根据原假设下随机变量的密度函数可得分布函数为：

则K-S统计量计算结果如下表所示。

所以K-S统计量的值为0.168。

参考答案 B

解析：根据原假设下随机变量的密度函数可得分布函数为:

则K-S统计量计算结果如下表所示。

所以K-S统计量的值为0.189。

参考答案 D

解析：根据生存模型，可知，计算结果如下表所示。

即统计量的值为3.65。

参考答案 B

解析：由于，已知z=0，所以=a+br²，又，，将此三式联立，解得：。

参考答案 C

解析：由于，所以
，故（）（）=

参考答案 D

解析：由M-W-A公式知：a_-2=－=a₂，a_-1==a₁，a₀=，=0（||>2）。所以
=（1+16+9+16+1）=0.671875。

故=1.903。

参考答案 A

解析：由已知得：

m－u=[4，8，10]'－[2，6，14]'=[2，2，－4]'。
所以v=u+（I+AB^-1）^-1（m－u）

。

参考答案 E

解析：由于Everett公式具有四次精确度的充要条件是：

C（s）+C（1－s）=s（s²－1）（s－2）故当s=1/2时有：，
所以C（1/2）=3/256。

参考答案 B

解析：设理赔次数为X，则

则=1.90。

参考答案 A

解析：由题意得：

参考答案 C

解析：由题意得：

当，=3。

参考答案 D

解析：设随机变量X表示理赔限额的种类，=1表示理赔限额为5000，=2表示理赔限额为10000，=3表示理赔限额为20000。则P（=1）=1/4，P（=2）=1/4，P（=3）=1/2。表示损失额，服从参数分别是=5000，=2的帕累托分布。则

，，

参考答案 B

解析：设事件=1表示第一个被抽中的球是红色的，=0表示第一个被抽中的球是白色的，事件=1表示第二个被抽中的球是红色的，=0表示第二个被抽中的球是白色的，事件=1表示抽中的是第一个盒子，=2表示抽中的是第二个盒子。由题意知

所以需要求的概率为

参考答案 E

解析：由于满足的x值即为泊松分布随机数。
由已知条件得：e^-λ=e^-0.5=0.60653≤0.81899，
e^-λ=e^-0.5=0.60653≤0.81899×0.81953=0.67119，
e^-λ=0.60653>0.81899×0.81953×0.35101=0.23559，故x₁=2；
0.68379>e^-λ=0.60653>0.68379×0.10493=0.07175，故x₂=1；
0.83946>e^-λ=0.60653>0.83946×0.35006=0.29386，故x₃=1；
0.20226-λ=0.60653，故x₄=0；
同理，0.16703-λ=0.60653，故x₅=0。

参考答案 B

解析：由于索赔次数服从Possion（3），所以理赔的时间间隔T服从参数为3的指数分布。则

（0，1）区间均匀分布内的随机数0.23，0.94，0.49，0.34，0.21，所以

，则。
由于总理赔额的期望，所以每年年初收取的保费为1.1E（S）=3300。
用随机数0.58，0.97，0.88，0.67，0.44来模拟赔付额，则第一次的理赔额满足，则。
第一年年初收取保费3300元，则第一年年末的盈余为u（1）=1000+3300-543=3757。
第二次以后的理赔发生都发生在第二年，且第二次的理赔额满足，则，发生时刻为+=1.02492，所以
（1.02492）=3757+3300-4774=2283>0
第三次的理赔额，发生时刻为t₁+t₂+t₃=1.24936，所以
（1.24936）=2283-1887=396>0
第四次的理赔额，发生时刻为t₁+t₂+t₃+t₄=1.38787，所以
（1.38787）=396-741<0
即在时刻1.3879时盈余为负时，该保险公司破产。

参考答案 E

解析：由于只有3个样本，所有可能的组合有种，得到的结果如下：即以1/27的概率得到{（1，1，1）、（6，6，6）、（8，8，8）}；以1/9的概率得到{（1，1，6）、（1，1，8）、（6，6，8）、（6，6，1）、（8，8，1）、（8，8，6）}；以2/9的概率得到{（1，6，8）}。
（1）
（2）max（X）的均方误差为

（3）min（X）的均方误差为

。

参考答案 A

解析：因为。3个自助样本的样本均值分别是3.82，3.82，3.87。
样本方差为=2.515；
3个自助样本的样本均值分别是1.875，3.172，4.149。
所以=1.171。

参考答案 B

解析：因为，用经验分布替换，得

又因为对于自助样本有

所以。

参考答案 A

解析：因为，用经验分布替换，将样本从小到大排列为：1.2，3.1，3.2，3.6，3.7，3.9，5.3，5.4，6.0，6.4。则0.3分位点的估计值为3.2。
同样对于自助样本1，2，3，得到；；。
所以。