中国精算师考试《精算模型》考前点题卷一

精算模型 / 考前点题　共 40 题　更新于 2026-09-28

一、单选选择题

下列每小题的选项中，只有一项是最符合题意的正确答案，多选、错选或不选均不得分。

设X服从

=1的指数分布，令

，则随机变量Y的危险率函数为（　　）。

A.1
B.y
C.2y
D.y²
E.2y²

参考答案C

解析解法①：因为

是严格递增的，且

，则

。由于

服从

的指数分布，即

，有

，于是

，故

。
解法②：因为

是严格递增的，且

。已知

服从

的指数分布，故

，所以

。

令

，则

的概率密度函数为（　　）。

参考答案C

解析由于

由1递减到0，则

由0递减到

，所以

由0递增到

。令

，则Z服从[0,1]上的均匀分布，即对所有z的值，题目图片

。对于

，其反函数为

，故

，其中

是

的递减函数。所以

。

以下表达式中与

等价的有（　　）。
（1）题目图片

；（2）

；（3）

；（4）

；（5）

A.（1）（2）（3）
B.（1）（2）（4）
C.（1）（2）（5）
D.（2）（3）（4）
E.（3）（4）（5）

参考答案B

解析由题意可得：
（1）题目图片

（2）

（4）由于

，所以

。

已知生命表函数为

，x≥0，且随机变量题目图片

表示

岁人的剩余寿命，则

=（　　）。

参考答案E

解析由于

，其中

，所以

。

某类保单的索赔额服从参数为题目图片

，β=4的帕累托分布，即

题目图片

经验显示

的概率分布如下表所示。

题目图片

该类保单索赔额大于18的概率为（　　）。

A.0.016
B.0.018
C.0.020
D.0.024
E.0.026

参考答案C

解析由于

，故

随机变量U的矩母函数为M_U（t）=（1－2t）^-9，t<0.5，则U的方差为（　　）。

A.33
B.34
C.35
D.36
E.37

参考答案D

解析解法①：由已知条件得：

E（U）=M′_U（t）｜_t=0=18（1－2t）-10｜_t=0=18E（U2）=M′′_U^（t）｜_{t=0 <^/sub>=360（1－2t）-11｜_{t=^{0 <}/sub>=360故=E（U²）－E²（U）=360－18²=36。
解法②：由随机变量U的矩母函数可知，U服从分布，所以=9×2=18，=9×2²=36。}}

某保险公司承保了如下特性的保单组合：
（1）每张保单最多发生一次索赔，并且索赔发生的概率为0.02；
（2）索赔发生时的个体理赔额分布如下：

题目图片

（3）安全附加系数为1／3。
为了使所收取保费总额低于赔付总额的概率不超过5%，保险公司需承保的最小保单数是（　　）。

A.1300
B.1350
C.1400
D.1450
E.1500

参考答案E

解析由已知条件得：
E（X）=1×0.4+2×0.3+3×0.2+4×0.1=2，
E（X²）=1²×0.4+2²×0.3+3²×0.2+4²×0.1=5，
题目图片

=E（X²）－E²（X）=1；
E（S）= 题目图片

=0.04n，

=n²[p（1－p）E²（X）+ 题目图片

]
=n²[0.02×0.98×2²+0.02×1]
=0.0984n²，
故题目图片

，即

，故

。

某保险公司售出2000张保单，假定每张保险单在保险期内至多有一次索赔，其概率为0.04。当损失发生时，个别损失额的分布如表所示。
题目图片

若该保险公司对每张保单的免赔额为2，则该保险公司的总赔付额的期望值与方差的和等于（　　）。

A.3760.8
B.3048.8
C.2768.8
D.2760.8
E.2408.8

参考答案D

解析若该保险公司对每张保单的免赔额为2，则当理赔发生时，个别理赔额的分布如下表所示。

题目图片

理赔发生的概率为：0.04×P（X＞1）＝0.04×0.5=0.02，
E（X）=（3×0.4+8×0.04+13×0.2）×0.02＝0.14，
E（S）＝2000×0.14=280，
题目图片

＝Var（B）q+E²（B）q（1－q）
＝14×0.02+7²×0.02×0.98
＝1.2404，
题目图片

＝2000×1.2404=2480.8，
E（S）+ 题目图片

＝2760.8。

已知随机变量

，

相互独立，

的密度函数为

，则

为（　　）。

A.1.1
B.1.5
C.2.1
D.2.5
E.3.1

参考答案D

解析由已知，有X～Gamma（k,2），故

题目图片

故，

10.

S服从复合泊松分布，泊松参数为λ=ln2，个体理赔额的概率函数为：

题目图片

则下面说法正确的是（　　）。

A.S服从几何分布
B.S服从二项分布
C.S服从泊松分布
D.S服从对数正态分布
E.S服从负二项分布

参考答案A

解析理赔次数N服从泊松分布，其矩母函数为：题目图片

；
由于泰勒展式

，
所以个体理赔额的矩母函数为：

题目图片

故理赔总额S的矩母函数为：

题目图片

故S服从几何分布。

11.

某保险公司的初始准备金为l0，理赔过程是复合泊松过程，个别理赔额的分布为

P（X=1）=0.5，P（X=2）=0.3，P（X=3）=0.2已知调节系数R=0.5，盈余首次低于初始准备金的概率等于（　　）。

A.0.15
B.0.29
C.0.33
D.0.49
E.0.55

参考答案E

解析由已知，有

故

12.

已知损失变量X具有概率密度函数：

题目图片

对于一种比例再保方式，再保险人赔付额为I（X）= 题目图片

。而另外一种再保方式，再保险人赔付额为：I_d（X）=max{X－d，0}，给定E{I（X）}=E{I_d（X）}=20，则题目图片

为（　　）。

A.35.2
B.36.2
C.37.2
D.38.2
E.39.2

参考答案C

解析由已知条件得：
20=E{I（X）}= 题目图片

解得：α=0.4；
又20=E{I_d（X）}= 题目图片

解得：d=36.754。故题目图片

=36.754+0.4=37.15。
13~14题的条件如下：
从t=0开始观察一个由8人组成的团体，直到他们全部死亡，仅记录发生死亡的时间（以天为单位）。假设t=0的初始事件发生在一天的中点，死亡事件也发生在那天的中点，那么，所有的生存期限均为整数。所观察的生存期限为3，4，5，5，7，10，10，12。S^o（t）是观察的样本空间的经验生存函数。

13.

利用S^o（t）估计S（t），则S^o（5）、S^o（12）的估计量分别为（　　）。

A.0.125，0
B.0.125，0.125
C.0.375，0
D.0.375，0.125
E.0.500，0

参考答案E

解析由于S^o（t）是右连续的，t=5时，题目图片

，而

=12是最后一次死亡事件发生的时间，则S^o（12）=0。S^o（t）的图形如下图所示。

题目图片

14.

（1）若样本的生存分布为区间（0，15]上的均匀分布，则题目图片

[S^o（6）]= ____；（2）若没有均匀分布的假设，则估计值题目图片

[S^o（6）]=____。（　　）

A.0.03，0.03125
B.0.03，0.045
C.0.03125，0.03
D.0.03125，0.045
E.0.045，0.03125

参考答案A

解析（1）随机变量T在区间（0，15]上服从均匀分布，则题目图片

=0.6，故

；（2）由样本的观察值得：S^o（6）=0.5，故题目图片

。

15.

在完整数据研究中，恰在第2次死亡之后的累积危险率函数H（t）的Nelson-Aalen估计量为11/30，则恰在第4次死亡后的H（t）的估计量为（　　）。

A.0.37
B.0.60
C.0.63
D.0.95
E.0.98

参考答案D

解析在第2次死亡后，题目图片

，其中

为初始样本容量，由已知条件得题目图片

，即11

－71

+30=0，解得：

=6（其中n=5/11舍去）。故题目图片

。

16.

在一完整数据研究中，初始样本容量n=10，S（12）的乘积极限估计为题目图片

，并且每次死亡均发生在不同的时点上，则S（12）的Nelson-Aalen估计量为（　　）。

A.0.28546
B.0.33611
C.0.62157
D.0.66389
E.0.71454

参考答案E

解析因为是完整数据，则S（12）的乘积极限估计为题目图片

，所以在t=12时，有7个生存者。即t=12以前发生了3次死亡，于是H（12）的Nelson-Aalen估计量为
题目图片

，故

。

17.

假设某类保单的免赔额为5，随机抽取了8张保单的理赔额如下：3、4、8、10、12、18、22、35。假设损失额服从题目图片

上的均匀分布,运用极大似然估计方法得到的题目图片

=（　　）。

A.40
B.50
C.23
D.27
E.8

参考答案A

解析由于损失额服从指数分布，所以应把理赔额数据还原成实际损失额数据，又免赔额为5，于是可以得到被截断样本数据为8、9、13、15、17、23、27、40。
由于指数分布的密度函数为：

题目图片

因此似然函数为：

其中

为示性函数，所以当

时，

。又因为

是一个关于

的单调递减函数，因此当题目图片

时，

取得最大值。即极大似然估计为题目图片

。

18.

假设X服从帕累托分布，参数θ=10，随机抽取了8个样本：3、4、8、10、12、18、22、35。则参数题目图片

的极大似然估计以及P（X≤10）的极大似然估计分别为（　　）。

A.1.20,0.534
B.1.26,0.534
C.1.20,0.582
D.1.26,0.582
E.1.30,0.526

参考答案D

解析对于帕累托分布，密度函数为题目图片

，因此似然函数为：

对数似然函数：

令

则

得到

=1.26。

令

，则

是P（X≤10）的极大似然估计，将题目图片

代入，得：

＝0.582

19.

已知某类保单的免赔额d=2，赔偿限额为u=16，随机抽取了8次的赔付额观测值为：1、2、6、8、10、14、14、14。假设初始损失额分布为参数为题目图片

的指数分布，则

的极大似然估计为（　　）。

A.14.8
B.15.2
C.14.2
D.13.5
E.13.8

参考答案E

解析将理赔额还原成实际损失额：3、4、8、10、12、16、16、16.。而赔偿限额为16，有如下似然函数：

题目图片

根据分布函数得出

和

的值，代入似然函数得到：题目图片

，则对数似然函数

，令

，得到

=13.8。

20.

一组免赔额为5的保单赔付样本为：6、7、7、9、11、17、21、34。假设初始损失额服从指数分布，则参数θ的极大似然估计为（　　）。

A.12
B.11
C.13
D.14
E.15

参考答案D

解析因为最终要估计的是初始损失额的参数，所以先将理赔额还原成初始损失额，题目图片

，于是可以得到被截断样本数据为11、12、12、14、16、22、26、39。
则似然函数：

题目图片

从而可以得到对数似然函数：题目图片

，令

，得到

=14。

21.

对患有急性白血病的21名病人的病情缓解时间进行观察，得到数据如下1，1，2，2，3，4，4，5，5，6，8，8，9，10，10，12，14，16，20，24，34，（单位为月），进行拟合优度检验。选定原假设：病情缓解时间的分布的密度函数为：

题目图片

则

统计量的值为（　　）。

A.0.45
B.0.52
C.0.60
D.0.79
E.0.82

参考答案B

解析由于样本容量只有21个，故将这21个数据分成如下四个小组：（-∞，2.39]，[2.4，5.79]，[5.8，11.59]，[11.60，+∞），那么计算出这21个数据落在这4个区间的概率如下：

题目图片

这样21个数据落在四个区间的理论频率是相等的，即：E₁=E₂=E₃=E₄=21×0.25=5.25。则数据的分组情况如下表所示。

题目图片

故

统计量的值为：

22.

某随机变量的5个观测分别为1，2，3，5，13，原假设：f（x）=2x^-2e^-2/x，x>0，则K-S检验统计量题目图片

的值为（　　）。

A.0.039
B.0.209
C.0.168
D.0.397
E.0.351

参考答案C

解析根据原假设下随机变量的密度函数可得分布函数为：

题目图片

则K-S统计量计算结果如下表所示。

题目图片

所以K-S统计量

的值为0.168。

23.

给定以下5个来自同一随机样本的观测值：0.1，0.2，0.5，1.0，1.3，对于零假设：总体的密度函数是题目图片

，

，则K-S检验统计量题目图片

的值为（　　）。

A.0.309
B.0.189
C.0.186
D.0.379
E.0.315

参考答案B

解析根据原假设下随机变量的密度函数可得分布函数为:

题目图片

则K-S统计量计算结果如下表所示。

题目图片

所以K-S统计量

的值为0.189。

24.

对150名投保人，从签订保单受益凭证开始观察，直到其身故，且没有删失观测值，有21人在第1年身故，有27人在第2年身故，有39人在第3年，另有63人在第4年。考虑原假设为生存模型

题目图片

在5%的显著性水平下，进行拟合优度检验，则题目图片

统计量的值为（　　）。

A.2.85
B.3.15
C.3.35
D.3.65
E.3.95

参考答案D

解析根据生存模型，可知题目图片

，计算结果如下表所示。

题目图片

即

统计量的值为3.65。

25.

在移动加权平均修匀法（M-W-A）中，若z=0，则系数题目图片

=（　　）。

参考答案B

解析由于

，已知z=0，所以

=a+br²，又

，

，将此三式联立，解得：题目图片

。

26.

已知（1）

；（2）

；（3）

。运用K-J修匀法，求（题目图片

）

（

）=（　　）。

参考答案C

解析由于

，所以

，故（

）

（

）=

27.

已知M-W-A公式为：题目图片

（－μ_x-2+4μ_x-1+3μ_x+4μ_x+1－μ_x+2），则题目图片

与

之比为（　　）。

A.0.353
B.0.672
C.1.325
D.1.852
E.1.903

参考答案D

解析由M-W-A公式知：a_-2=－题目图片

=a₂，a_-1=

=a₁，a₀=

，

=0（|

|>2）。所以

（1+16+9+16+1）=0.671875。

题目图片

故

=1.903。

28.

设T=（T₁，T₂，T₃）是随机向量，其中T₁，T₂，T₃相互独立。其先验均值m=[4，8，10]'，观察值为u=[2，6，14]'，协方差矩阵和条件协方差矩阵分别为：

题目图片

则用K-J法求得的修匀向量v=（　　）。

参考答案A

解析由已知得：

m－u=[4，8，10]'－[2，6，14]'=[2，2，－4]'。
所以v=u+（I+AB^-1）^-1（m－u）

题目图片

。

29.

已知Everett公式具有四次精确度，且该公式是相切的，则C（1/2）=（　　）。

A.3/4
B.3/8
C.3/64
D.3/128
E.3/256

参考答案E

解析由于Everett公式具有四次精确度的充要条件是：

C（s）+C（1－s）= 题目图片

s（s²－1）（s－2）故当s=1/2时有：题目图片

，
所以C（1/2）=3/256。

30.

假设一年内的理赔次数服从均值为θ的泊松分布，其先验密度为题目图片

，0<

，每年零索赔的非条件概率为0.575，则题目图片

=（　　）。

A.1.85
B.1.90
C.1.99
D.2.31
E.2.96

参考答案B

解析设理赔次数为X，则

题目图片

则

=1.90。

31.

在一个保单组合中，每一个被保险人每年最多只发生一次理赔，其发生概率为q，先验密度为题目图片

，0.6<

<0.8，一个随机抽取的被保险人在第一年理赔一次，在第二年无理赔，对于该被保险人，则其后验概率为（　　）。

参考答案A

解析由题意得：

32.

对于某一特定风险，一年之内的理赔次数服从均值为题目图片

的伯努利分布，

的先验概率分布为[0，1]上的均匀分布，计算得到的贝叶斯信度估计值是观察理赔额的题目图片

时，则理赔额为0的年数是（　　）。

参考答案C

解析由题意得：

当

，

=3。

33.

一个保单组合有100个独立的个体，其中25个个体的理赔限额为5000，25个的理赔限额为10000，50个的理赔限额为20000。在分类以前，这些风险个体拥有相同的损失额分布，即服从参数分别是θ=5000，题目图片

=2的帕累托分布，在分类以后，根据理赔报告可以显示出每一个范围的风险数，但是区分不开每一次理赔的理赔限额。这个报告准确显示了一个随机选择的理赔，位于9000～11000范围内，则该个体属于理赔限额为10000的概率为（　　）。

A.0.12
B.0.25
C.0.35
D.0.68
E.0.72

参考答案D

解析设随机变量X表示理赔限额的种类，题目图片

=1表示理赔限额为5000，题目图片

=2表示理赔限额为10000，题目图片

=3表示理赔限额为20000。则P（题目图片

=1）=1/4，P（题目图片

=2）=1/4，P（题目图片

=3）=1/2。

表示损失额，服从参数分别是题目图片

=5000，

=2的帕累托分布。则

题目图片

，

34.

两个盒子每个里面都装了形状相同的10个球。第一个盒子里面有5个红球和5个白球，第二个盒子里面有2个红球和8个白球，每个球被抽中的概率是相等的。现随机抽选一个盒子，两个盒子等概率被抽中；从这个盒子中随机选出一个球，放回原盒子后再从该盒子中随机选出一个球。假设第一个被抽中的球是红色的，那么第二个被抽中的球也是红色的概率是（　　）。

A.29/56
B.29/70
C.29/140
D.29/200
E.21/134

参考答案B

解析设事件

=1表示第一个被抽中的球是红色的，题目图片

=0表示第一个被抽中的球是白色的，事件题目图片

=1表示第二个被抽中的球是红色的，题目图片

=0表示第二个被抽中的球是白色的，事件题目图片

=1表示抽中的是第一个盒子，题目图片

=2表示抽中的是第二个盒子。由题意知

题目图片

所以需要求的概率为

35.

用分数乘积法产生参数为0.5的泊松分布随机数。假设生成的一列均匀分布随机数为0.81899，0.81953，0.35101，0.68379，0.10493，0.83946，0.35006，0.20226，0.16703，则产生的泊松分布随机数为（　　）。

A.1，2，0，1，0
B.2，1，0，1，0
C.1，2，1，0，0
D.3，2，2，1，1
E.2，1，1，0，0

参考答案E

解析由于满足

的x值即为泊松分布随机数。
由已知条件得：e^-λ=e^-0.5=0.60653≤0.81899，
e^-λ=e^-0.5=0.60653≤0.81899×0.81953=0.67119，
e^-λ=0.60653>0.81899×0.81953×0.35101=0.23559，故x₁=2；
0.68379>e^-λ=0.60653>0.68379×0.10493=0.07175，故x₂=1；
0.83946>e^-λ=0.60653>0.83946×0.35006=0.29386，故x₃=1；
0.20226-λ=0.60653，故x₄=0；
同理，0.16703-λ=0.60653，故x₅=0。

36.

假设索赔次数服从Possion（3），理赔额服从帕累托分布（2，1000）。假设初始盈余为1000，安全附加为0.1，保费收取在年初，当盈余为负时保险公司则会破产。从随机数表选出的在（0，1）区间均匀分布内的随机数0.23，0.94，0.49，0.34，0.21来模拟理赔的时间间隔，用随机数0.58，0.97，0.88，0.67，0.44来模拟赔付额。则该保险公司在（　　）时破产。

A.1.2456
B.1.3879
C.1.4043
D.1.4582
E.1.56843

参考答案B

解析由于索赔次数服从Possion（3），所以理赔的时间间隔T服从参数为3的指数分布。则

题目图片

（0，1）区间均匀分布内的随机数0.23，0.94，0.49，0.34，0.21，所以

题目图片

，

则

。
由于总理赔额的期望题目图片

，所以每年年初收取的保费为1.1E（S）=3300。
用随机数0.58，0.97，0.88，0.67，0.44来模拟赔付额，则第一次的理赔额满足题目图片

，则

。
第一年年初收取保费3300元，则第一年年末的盈余为u（1）=1000+3300-543=3757。
第二次以后的理赔发生都发生在第二年，且第二次的理赔额满足题目图片

，则

，发生时刻为

=1.02492，所以
题目图片

（1.02492）=3757+3300-4774=2283>0
第三次的理赔额题目图片

，发生时刻为t₁+t₂+t₃=1.24936，所以
题目图片

（1.24936）=2283-1887=396>0
第四次的理赔额题目图片

，发生时刻为t₁+t₂+t₃+t₄=1.38787，所以
题目图片

（1.38787）=396-741<0
即在时刻1.3879时盈余为负时，该保险公司破产。

37.

随机抽取随机变量X的三个样本：1，6，8，应用Bootsdivap方法计算下面估计的均方误差。下列说法正确的是（　　）。
（1）均值估计题目图片

；
（2）max（X）的均方误差为题目图片

；
（3）min（X）的均方误差为题目图片

。

A.（1）
B.（1）（2）
C.（3）
D.（2）（3）
E.（1）（2）（3）

参考答案E

解析由于只有3个样本，所有可能的组合有题目图片

种，得到的结果如下：即以1/27的概率得到{（1，1，1）、（6，6，6）、（8，8，8）}；以1/9的概率得到{（1，1，6）、（1，1，8）、（6，6，8）、（6，6，1）、（8，8，1）、（8，8，6）}；以2/9的概率得到{（1，6，8）}。
（1）题目图片

（2）max（X）的均方误差为

题目图片

（3）min（X）的均方误差为

题目图片

。

二、材料题

假设随机变量X₁、X₂、…、X₁₀独立同分布于F（x），现有它们的一组观测值：1.2、3.2、5.3、6.4、3.6、3.7、6.0、5.4、3.1、3.9。下面是被模拟的经验分布的自助样本，每个样本有10个数据：
样本1：3.6、3.7、3.7、3.9、5.4、1.2、3.2、3.2、3.9、6.4
样本2：1.2、1.2、5.3、5.3、3.9、3.2、3.2、3.1、5.4、6.4
样本3：3.9、3.9、6.0、6.0、5.4、1.2、3.9、6.0、1.2、1.2

38.

使用这三个自助样本估计样本方差估计值的MSE为（　　）。