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2026年硕士研究生《数学三》试题（网友回忆版）

数学三 历年真题 共 22 题 1037 次浏览 更新于 2026-09-26
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一、单选题

下列每小题的选项中，只有一项是最符合题意的正确答案，多选、错选或不选均不得分。

1
曲线y=xe1/x（　）
  • A.无水平渐近线，无铅直渐近线
  • B.有水平渐近线，有铅直渐近线
  • C.无水平渐近线，有铅直渐近线
  • D.有水平渐近线，无铅直渐近线
2
设函数z=z(x,y)由方程x−az=ey+az（a是非零常数）确定，则（　）
  • A.∂z/∂x−∂z/∂y=1/a
  • B.∂z/∂x+∂z/∂y=1/a
  • C.∂z/∂x−∂z/∂y=−1/a
  • D.∂z/∂x+∂z/∂y=−1/a
3
已知函数题目图片，f的反函数g，则（　）
  • A.g(0)=1，g'(0)=(3/2)e
  • B.g(0)=1，g'(0)=2/(3e)
  • C.g(1)=1，g'(1)=(3/2)e
  • D.g(1)=1，g'(1)=2/(3e)
4
设t时刻某证券的交易单价为p(t)，某机构持有该证券的份额为q(t)，若该机构在[0,T]持续购入一定份额该证券，则这些证券的平均购入价格为（　）
  • A.题目图片
  • B.题目图片
  • C.题目图片
  • D.题目图片
5
设矩阵题目图片，若存在矩阵B满足AB＝C，则（　）
  • A.a=-1, b=-1
  • B.a=2, b=2
  • C.a=-1, b=2
  • D.a=2, b=-1
6
设 A 为3阶非零矩阵，A* 为 A 的伴随矩阵。若 A*=−2A，则 A²=（　）
  • A.题目图片
  • B.题目图片
  • C.题目图片
  • D.题目图片
7
设3阶矩阵A、B满足AB+BA=A²+B²，且A≠B，则下列错误的是（　）
  • A.(A−B)³=0
  • B.A−B只有零特征值
  • C.A、B不能都是对角矩阵
  • D.A−B只有一个线性无关的特征向量
8
设随机变量X和Y独立分布，X的概率密度为题目图片，则P{XY≤1}＝（　）。
  • A.3/4
  • B.1/2
  • C.1/3
  • D.1/6
9
设随机变量X~N(0,1)，随机变量Y~B(2,1/2)，且X与Y独立，则XY与X+Y的相关系数为（　）
  • A.√6/3
  • B.√2/2
  • C.2/3
  • D.1/2
10
设随机变量 X 的概率分布为题目图片，则对于正整数m,n有（　）
  • A.P{X>m+n｜X>m}=P{X>m}
  • B.P{X>m+n｜X>m}=P{X>n}
  • C.P{X>m+n｜X>m}>P{X>m}
  • D.P{X>m+n｜X>m}>P{X>n}

二、填空题

请输入正确的答案，多个答案中间用分号隔开。

11
题目图片(x−1)(x−1/2)dx=________。
12
极限题目图片=________。
13
设p为常数，若反常积分题目图片收敛，则p的取值范围是________。
14
微分方程y''−2y'=ex满足条件y(0)=1，y'(0)=1的解为y=________。
15
设矩阵A=题目图片，若二次型xᵀ(AAᵀ)x的规范形为y₁²，则a+b=________。
16
设随机变量X服从参数为1的泊松分布，随机变量Y服从参数为3的泊松分布。X与Y−X相互独立，则E(XY)=________。

三、解答题

主观题不参与评分，请参考答案自行评分。

17
已知函数f(x)满足题目图片，将f(x)展开成x的幂级数。
18
已知函数g(x)连续，设f(x)=题目图片g(xt)dt，求f'(x)的表达式，并判断f'(x)在x=0处的连续性。
19
求f(x,y)=(2x²−y²)ex的极值。
20
设平面区域D={(x,y)｜0≤x≤1,0≤y≤1}，计算二重积分题目图片。
21
已知向量组题目图片，记A=(α₁,α₂,α₃,α₄)，G=(α₁,α₂)。
(1)证明：α₁，α₂是α₁，α₂，α₃，α₄的极大线性无关组。
(2)求矩阵H使得A=GH，并求A¹⁰。
22
假设某种元件的寿命服从指数分布，其均值 θ 是未知参数，为估计 θ，取 n 个这种元件同时做寿命试验，试验到出现 k(1 ≤k ≤n) 个元件失效时停止。
(1)若 k=1，失效元件的寿命记为 T。
(i)求 T 的概率密度；
(ii)记 θ̂=a T，确定 a，使 E(θ̂)=θ，并求 D(θ̂)。
(2)已知 k 个失效元件的寿命值分别为 t₁,t₂,⋯,t_k，且 t₁ ≤t₂ ≤⋯ ≤t_k，似然函数为题目图片，求 θ 的最大似然估计值。