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2017年硕士研究生《数学三》试题（网友回忆版）

数学三 历年真题 共 23 题 815 次浏览 更新于 2026-09-26
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一、选择题

1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1
若函数
题目图片在x＝0处连续，则（）。
  • A.ab＝1/2
  • B.ab＝－1/2
  • C.ab＝0
  • D.ab＝2
2
二元函数z＝xy（3－x－y）的极值点是（）。
  • A.（0，0）
  • B.（0，3）
  • C.（3，0）
  • D.（1，1）
3
设函数f（x）可导，且f（x）f′（x）＞0，则（）。
  • A.f（1）＞f（－1）
  • B.f（1）＜f（－1）
  • C.｜f（1）｜＞｜f（－1）｜
  • D.｜f（1）｜＜｜f（－1）｜
4
若级数题目图片收敛，则k＝（）。
  • A.1
  • B.2
  • C.－1
  • D.－2
5
设α为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则（）。
  • A.E－ααT不可逆
  • B.E＋ααT不可逆
  • C.E＋2ααT不可逆
  • D.E－2ααT不可逆
6
已知矩阵
题目图片题目图片题目图片则（）。
  • A.A与C相似，B与C相似
  • B.A与C相似，B与C不相似
  • C.A与C不相似，B与C相似
  • D.A与C不相似，B与C不相似
7
设A，B，C为三个随机事件，且A与C相互独立，B与C相互独立，则A∪B与C相互独立的充分必要条件是（）。
  • A.A与B相互独立
  • B.A与B互不相容
  • C.AB与C相互独立
  • D.AB与C互不相容
8
设X1，X2，…，Xn（n≥2）为来自总体N（μ，1）的简单随机样本，记
题目图片则下列结论正确的是（）。
  • A.题目图片服从χ2分布
  • B.2（Xn－X1）2服从χ2分布
  • C.题目图片服从χ2分布
  • D.n（－μ）2服从χ2分布

二、填空题

9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在题中横线上。

9
题目图片（）。
10
差分方程yt＋1－2yt＝2t通解为（）。
11
设生产某产品的平均成本（Q）＝1＋e－Q，其中Q为产量，则边际成本为（）。
12
设函数f（x，y）具有一阶连续偏导数，且df（x，y）＝yeydx＋x（1＋y）eydy，f（0，0）＝0，则f（x，y）＝（）。
13
设矩阵
题目图片α1、α2、α3为线性无关的3维列向量组，则向量组Aα1、Aα2、Aα3的秩为（）。
14
设随机变量X的概率分布为P{X＝－2}＝1/2，P{X＝1}＝a，P{X＝3}＝b，若EX＝0，则DX＝（）。

三、解答题

15～23小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15
（本题满分10分）
求极限题目图片
16
（本题满分10分）
计算积分题目图片，其中D是第一象限中以曲线题目图片与x轴为边界的无界区域。
17
（本题满分10分）
求题目图片
18
（本题满分10分）
已知方程1/ln（1＋x）－1/x＝k在区间（0，1）内有实根，确定常数k的取值范围。
19
（本题满分10分）
设a0＝1，a1＝0，an＋1＝（nan＋an－1）/（n＋1）（n＝1，2，3，…），S（x）为幂级数题目图片的和函数。
（Ⅰ）证明题目图片的收敛半径不小于1。
（Ⅱ）证明（1－x）S′（x）－xS（x）＝0（x∈（－1，1）），并求S（x）表达式。
20
（本题满分11分）
设3阶矩阵A＝（α1，α2，α3）有3个不同的特征值，且α3＝α1＋2α2。
（Ⅰ）证明r（A）＝2；
（Ⅱ）若β＝α1＋α2＋α3，求方程组Ax＝β的通解。
21
（本题满分11分）
设二次型f（x1，x2，x3）＝2x12－x22＋ax32＋2x1x2－8x1x3＋2x2x3在正交变换x＝Qy下的标准型为λ<sub>1ub>y12＋λ2y2</sub>2，求a的值及一个正交矩阵Q。
22
（本题满分11分）
设随机变量X，Y相互独立，且X的概率分布为P（X＝0）＝P（X＝2）＝1/2，Y的概率密度为
题目图片（Ⅰ）求P（Y≤EY）；
（Ⅱ）求Z＝X＋Y的概率密度。
23
（本题满分11分）
某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量μ是已知的，设n次测量结果X1，X2，…，Xn相互独立，且均服从正态分布N（μ，σ2）。该工程师记录的是n次测量的绝对误差Zi＝Xi－μ（i＝1，2，…，n），利用Z1，Z2，…，Zn估计σ。
（Ⅰ）求Zi的概率密度；
（Ⅱ）利用一阶矩求σ的矩估计量；
（Ⅲ）求σ的最大似然估计量。