2018年硕士研究生《数学三》试题（网友回忆版）
数学三
历年真题
共 23 题
815 次浏览
更新于 2026-09-26
一、选择题
1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1
下列函数中，在x＝0处不可导的是（）。
- A.f（x）＝｜x｜sin｜x｜
- B.
- C.f（x）＝cos｜x｜
- D.
f－′（0）＝f＋′（0）＝0，f（x）在x＝0处可导；
f－′（0）＝f＋′（0）＝0，f（x）在x＝0处可导；
f－′（0）＝f＋′（0）＝0，f（x）在x＝0处可导；
f－′（0）≠f＋′（0），f（x）在x＝0处不可导。
2
设函数f（x）在[0，1]上二阶可导，且
则（）。
则（）。- A.当f′（x）＜0时，f（1/2）＜0
- B.当f″（x）＜0时，f（1/2）＜0
- C.当f′（x）＞0时，f（1/2）＜0
- D.当f″（x）＞0时，f（1/2）＜0
而f′（x）＝－1＜0，f（1/2）＝0，故排除A项；
而f″（x）＝－2＜0，f（1/2）＝－1/4＋1/3＝1/12＞0，故排除B项；
而f′（x）＝1＞0，f（1/2）＝0，故排除C项；
其中ξ∈（x，1/2）。按照题意进行积分得
若f″（x）＞0，由
f″（x）＞0，则
可知f（1/2）＜0一定成立。
3
则（）。
则（）。- A.M＞N＞K
- B.M＞K＞N
- C.K＞M＞N
- D.K＞N＞M
因为2x/（1＋x2）是奇函数，
故
当x∈[－π/2，π/2]时，
，得K＞M，排除AB两项。注意到当x≠0时，ex＞1＋x，则当x∈[－π/2，π/2]时，（1＋x）/ex≤1（且不恒等于1），得N＜M。综上所述，K＞M＞N。
4
设某产品的成本函数C（Q）可导，其中Q为产量，若产量为Q0时平均成本最小，则（）。
- A.C′（Q0）＝0
- B.C′（Q0）＝C（Q0）
- C.C′（Q0）＝Q0C（Q0）
- D.Q0C′（Q0）＝C（Q0）
5
下列矩阵中，与矩阵
相似的为（）。
相似的为（）。- A.
- B.
- C.
- D.
则r（E－X）＝2。
则r（E－A）＝2。
则r（E－B）＝1。
则r（E－C）＝1。
则r（E－D）＝1。只有E－A的秩与E－X相等，因此选A。
6
设A、B为n阶矩阵，记r（X）为矩阵X的秩，（X，Y）表示分块矩阵，则（）。
- A.r（A，AB）＝r（A）
- B.r（A，BA）＝r（A）
- C.r（A，B）＝max{r（A），r（B）}
- D.r（A，B）＝r（AT，BT）
即β1，β2，…，βn，可由α1，α2，…，αn线性表出，矩阵的秩就是列向量组的秩。故r（A，AB）＝r（α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βn）＝r（α1，α2，…，αn）＝r（A）。
7
设随机变量X的概率密度f（x）满足f（1＋x）＝f（1－x），且
则P{X＜0}＝（）。
则P{X＜0}＝（）。- A.0.2
- B.0.3
- C.0.4
- D.0.5
8
设X1，X2，…，Xn（n≥2）为来自总体N（μ，σ2）（σ＞0）的简单随机样本，令
则（）。
则（）。- A.
- B.
- C.
- D.
所以
根据抽样定理得：
又与S2相互独立，所以
二、填空题
9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在题中横线上。
9
曲线y＝x2＋2lnx在其拐点处的切线方程是（）。
10
（）。
（）。
11
差分方程Δ2yx－yx＝5的通解为（）。
12
设函数f（x）满足f（x＋Δx）－f（x）＝2xf（x）Δx＋ο（Δx）（Δx→0），且f（0）＝2，则f（1）＝（）。
因为f′（x）＝2xf（x）符合微分方程y′＝2xy；分离变量得到dy/y＝2xdx，故求得通解为
其中C为任意常数。将f（0）＝2代入，解得C＝2，所以
故f（1）＝2e。
13
设A为3阶矩阵，α1，α2，α3为线性无关的向量组。若Aα1＝α1＋α2，Aα2＝α2＋α3，Aα3＝α1＋α3，则A＝（）。
令P＝（α1，α2，α3），因为（α1，α2，α3）线性无关，所以P可逆。故可得到
所以A与B相似，特征值相等，故A＝B＝2。
14
随机事件A、B、C相互独立，且P（A）＝P（B）＝P（C）＝1/2，则P（ACA∪B）＝（）。
三、解答题
15～23小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15
（本题满分10分）
已知实数a、b满足
求a，b。
已知实数a、b满足
求a，b。
16
（本题满分10分）
平面内的区域D由曲线
和直线
及y轴围成，试求二重积分
平面内的区域D由曲线
和直线及y轴围成，试求二重积分
17
（本题满分10分）
将长为2m的钢丝分为三段，依次围成成圆、正方形和正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。
将长为2m的钢丝分为三段，依次围成成圆、正方形和正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。
18
（本题满分10分）
已知
求an。
已知
求an。
19
（本题满分10分）
数列{xn}，x1＞0，
证明{xn}收敛，并求
数列{xn}，x1＞0，
证明{xn}收敛，并求
20
（本题满分11分）
设实二次型f（x1，x2，x3）＝（x1－x2＋x3）2＋（x2＋x3）2＋（x1ub>＋axb>3 ）2，其中a是参数，
（Ⅰ）求f（x1，x2，x3）＝0的解；
（Ⅱ）求f（x1，x2，x3）的规范型。
设实二次型f（x1，x2，x3）＝（x1－x2＋x3）2＋（x2＋x3）2＋（x1ub>＋ax
（Ⅰ）求f（x1，x2，x3）＝0的解；
（Ⅱ）求f（x1，x2，x3）的规范型。
21
（本题满分11分）
已知a是常数，且矩阵
可经初等列变换化为矩阵
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）求满足AP＝B的可逆矩阵P。
已知a是常数，且矩阵
可经初等列变换化为矩阵（Ⅰ）求a；（Ⅱ）求满足AP＝B的可逆矩阵P。
22
（本题满分11分）
设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P{X＝1}＝P{X＝－1}＝1/2，Y服从参数为λ的泊松分布，令Z＝XY。
（Ⅰ）求Cov（X，Z）；
（Ⅱ）求Z的概率分布。
设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P{X＝1}＝P{X＝－1}＝1/2，Y服从参数为λ的泊松分布，令Z＝XY。
（Ⅰ）求Cov（X，Z）；
（Ⅱ）求Z的概率分布。
23
（本题满分11分）
已知总体X的密度函数为
其中σ∈（0，＋∞）为未知参数，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，记σ的最大似然估计量为。
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求E（），D（）。
已知总体X的密度函数为
其中σ∈（0，＋∞）为未知参数，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，记σ的最大似然估计量为。（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求E（），D（）。
输入阅读码
查看答案与解析需要输入阅读码