2016年硕士研究生《数学二》试题（网友回忆版）
数学二
历年真题
共 23 题
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更新于 2026-09-29
一、选择题
1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1
设
当x→0＋时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是（ ）。
当x→0＋时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是（ ）。- A.a1，a2，a3
- B.a2，a3，a1
- C.a2，a1，a3
- D.a3，a2，a1
2
已知函数
则f（x）的一个原函数是（ ）。
则f（x）的一个原函数是（ ）。- A.
- B.
- C.
- D.
因为f（x）在x＝1处连续，则其原函数F（x）在x＝1处也连续，即c1＝－1＋c2；令c1＝0，可得c2＝1。则
为f（x）的一个原函数。
3
反常积分①
，②
的敛散性为（ ）。
，②的敛散性为（ ）。- A.①收敛，②收敛
- B.①收敛，②发散
- C.①发散，②收敛
- D.①发散，②发散
得
收敛；由
得
发散。
4
设函数f（x）在（－∞，＋∞）内连续，其导函数的图形如图1所示，则（ ）。
图1
图1- A.函数f（x）有2个极值点，曲线y＝f（x）有2个拐点
- B.函数f（x）有2个极值点，曲线y＝f（x）有3个拐点
- C.函数f（x）有3个极值点，曲线y＝f（x）有1个拐点
- D.函数f（x）有3个极值点，曲线y＝f（x）有2个拐点
图2
5
设函数fi（x）（i＝1，2）具有二阶连续导数，且fi″（x0）＜0（i＝1，2），若两条曲线y＝fi（x）（i＝1，2）在点（x0，y0）处具有公切线y＝g（x），且在该点处曲线y＝f1（x）的曲率大于曲线y＝f2（x）的曲率，则在x0的某个邻域内，有（ ）。
- A.f1（x）≤f2（x）≤g（x）
- B.f2（x）≤f1（x）≤g（x）
- C.f1（x）≤g（x）≤f2（x）
- D.f2（x）≤g（x）≤f1（x）
6
已知函数f（x，y）＝ex/（x－y），则（ ）。
- A.fx′－fy′＝0
- B.fx′＋fy′＝0
- C.fx′－fy′＝f
- D.fx′＋fy′＝f
所以，
7
设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（ ）。
- A.AT与BT相似
- B.A－1与B－1相似
- C.A＋AT与B＋BT相似
- D.A＋A－1与B＋B－1相似
8
设二次型f（x1，x2，x3）＝a（x12＋x22＋x32）＋2x1x2＋2x2x3＋2x<sub>1x3的正、负惯性指数分别为1，2，则（ ）。
- A.a＞1
- B.a＜－2
- C.－2＜a＜1
- D.a＝1或a＝－2
，对其进行初等变换如下：
，解得－2＜a＜1。
二、填空题
9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在题中横线上。
9
曲线
的斜渐近线方程为（ ）。
的斜渐近线方程为（ ）。
所以该曲线的斜渐近线方程为y＝x＋π/2。
10
极限
（ ）。
（ ）。
11
以y＝x2－ex和y＝x2为特解的一阶非齐次线性微分方程为（ ）。
解得
则所求的一阶非齐次线性微分方程为y′－y＝－x2＋2x。
12
已知函数f（x）在（－∞，＋∞）上连续，且
则当n≥2时，f（n）（0）＝（ ）。
则当n≥2时，f（n）（0）＝（ ）。
13
已知动点P在曲线y＝x3上运动，记坐标原点与点P间的距离为l。若点P的横坐标时间的变化率为常数v0，则当点P运动到点（1，1）时，l对时间的变化率是（ ）。
当点P运动到点（1，1）时，l对t的变化率为
14
设矩阵
与
等价，则a＝（ ）。
与等价，则a＝（ ）。
因为A和B等价，所以r（A）＝r（B）。
由r（A）＝r（B）＝2得a＝2。
三、解答题
15～23小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15
（本题满分10分）
求极限
求极限
16
（本题满分10分）
设函数
求f′（x）并求f（x）的最小值。
设函数
求f′（x）并求f（x）的最小值。
17
（本题满分10分）
已知函数z＝z（x，y）由方程（x2＋y2）z＋lnz＋2（x＋y＋1）＝0确定，求z＝z（x，y）的极值。
已知函数z＝z（x，y）由方程（x2＋y2）z＋lnz＋2（x＋y＋1）＝0确定，求z＝z（x，y）的极值。
18
（本题满分10分）
设D是由直线y＝1，y＝x，y＝－x围成的有界区域，计算二重积分
设D是由直线y＝1，y＝x，y＝－x围成的有界区域，计算二重积分
19
（本题满分10分）
已知y1（x）＝ex，y2sub>（x）＝u（x）ex是二阶微分方程（2x－1）y″－（2x＋1）y′＋2y＝0的解，若u（－1）＝e，u（0）＝－1，求u（x），并写出该微分方程的通解。
已知y1（x）＝ex，y2sub>（x）＝u（x）ex是二阶微分方程（2x－1）y″－（2x＋1）y′＋2y＝0的解，若u（－1）＝e，u（0）＝－1，求u（x），并写出该微分方程的通解。
20
（本题满分11分）
设D是由曲线
与
围成的平面区域，求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积。
设D是由曲线
与围成的平面区域，求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积。
21
（本题满分11分）
已知f（x）在[0，3π/2]上连续，在（0，3π/2）内是函数cosx/（2x－3π）的一个原函数f（0）＝0。
（Ⅰ）求f（x）在区间[0，3π/2]上的平均值；
（Ⅱ）证明f（x）在区间（0，3π/2）内存在唯一零点。
已知f（x）在[0，3π/2]上连续，在（0，3π/2）内是函数cosx/（2x－3π）的一个原函数f（0）＝0。
（Ⅰ）求f（x）在区间[0，3π/2]上的平均值；
（Ⅱ）证明f（x）在区间（0，3π/2）内存在唯一零点。
22
（本题满分11分）
设矩阵
且方程组Ax＝β无解。
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求方程组ATAx＝ATβ的通解。
设矩阵
且方程组Ax＝β无解。（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求方程组ATAx＝ATβ的通解。
23
（本题满分11分）
已知矩阵
（Ⅰ）求A99；
（Ⅱ）设3阶矩阵B＝（α1，α2，α3）满足B2＝BA。记B100＝（β1，β2，β3），将β1，β2，β3分别表示为αb>1，α2，α3的线性组合。
已知矩阵
（Ⅰ）求A99；（Ⅱ）设3阶矩阵B＝（α1，α2，α3）满足B2＝BA。记B100＝（β1，β2，β3），将β1，β2，β3分别表示为α
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