2026年统考专升本《高等数学》考前点题卷二

高等数学 / 考前点题　共 53 题　更新于 2026-09-27

一、单选题

下列每小题的选项中，只有一项是最符合题意的正确答案，多选、错选或不选均不得分。

A.有极大值
B.有极小值
C.既有极大值又有极小值
D.无极值

参考答案B

解析

设函数

则

在

处（　）．

A.不连续
B.连续但不可导
C.连续且f'(1)=-1
D.连续且f'(1)=1

参考答案D

解析

设正项级数

收敛，则下列级数收敛的是（　）．

参考答案C

解析

设在[0,1]上f''(x)>0，则f'(0)，f'(1)，f(1)-f(0)或f(0)-f(1)几个数的大小顺序为（　）．

A.f'(1)>f'(0)>f(1)-f(0)
B.f'(1)>f(1)-f(0)>f'(0)
C.f(1)-f(0)>f'(1)>f'(0)
D.f'(1)>f(0)-f(1)>f'(0)

参考答案B

解析由f(1)-f(0)-f'(0)=f'(ξ)(1-0)-f'(0)=f'(ξ)-f'(0)=f''(η)(ξ-0)=ξf''(η)>0⇒f(1)-f(0)>f'(0)，同理可得:f'(1)>f(1)-f(0)，所以f'(1)>f(1)-f(0)>f'(0)．故本题选B．
拉格朗日中值定理:设函数y=f(x)满足下列条件:
（1）在闭区间[a,b]上连续;
（2）在开区间(a,b)内可导;
则在开区间(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ

设

，则

=（　）．

A.
B.27!
C.3×27!
D.

参考答案A

解析

（f(x)为26次多项式），所以题目图片

故本题选A．
复合函数的求导法则:
如果函数u=u(x)在点x处可导，函数y=f(u)在对应点u处可导，则复合函数y=f[u(x)]在点x处可导，且有
题目图片

也可记为

微分方程y'+ysin⁡x=0的通解为（　）．

参考答案A

解析由

．故本题选A．

设f'(x)是连续函数，则题目图片

=（　）．

A.f(x)dx
B.f'(x)dx
C.f(x)
D.f'(x)

参考答案B

解析由不定积分的性质知题目图片

．故本题选B．

设

，则向量

与

的夹角为（　）．

参考答案D

解析

故本题选D．

方程(z-a)²=x²+y²表示（　）．

A.xOz面内曲线(z-a)²=x²，绕y轴旋转而成
B.xOz面内直线z-a=x，绕z轴旋转而成
C.yOz面内曲线z-a=y，绕y轴旋转而成
D.yOz面内曲线(z-a)²=y²，绕x轴旋转而成

参考答案B

解析显然(z-a)²=x²+y²为圆锥面，xOz面内直线z-a=x为其一条母线，由旋转曲面性质知其为xOz面内直线z-a=x，绕z轴旋转而成．故本题选B．
方程题目图片

表示椭圆锥面．
当a=b时: 题目图片

为圆锥面．

10.

设函数

且函数

可导，则

=（　）．

参考答案D

解析

全微分具有形式不变性:
题目图片

11.

A.必要而不充分条件
B.充分而不必要条件
C.必要且充分条件
D.既不必要也不充分条件

参考答案A

解析由可微定义知:函数可微偏导数一定存在，但偏导数存在不一定可微．故本题选A．
题目图片

12.

设函数

，则

=（　）．

参考答案C

解析

．故本题选C．
设函数y=f(u)的定义域为D_f，函数u=g(x)的定义域为D_g，且其值域R_g⊂D_f，则由下式确定的函数y= f[g(x)]，x∈D_g称为由函数u=g(x)与函数y=f(u)构成的复合函数，它的定义域为D_g，变量u称为中间变量，f称为外函数，g称为内函数．函数f(u)和u=g(x)按“先g后f”次序的复合函数运算可简记为f∘g．

13.

设f'(2)=1/2，则极限题目图片

=（　）．

A.-1/2
B.-1
C.1/2
D.1

参考答案D

解析

．故本题选D．
设函数y=f(x)在点题目图片

的某个领域内有定义，在点题目图片

处给自变量x一个改变量∆x≠0（题目图片

+∆x也在该邻域内），相应地函数y有改变量∆y=f( 题目图片

+∆x)-f(

)，如果极限

存在，则称函数y=f(x)在点题目图片

处可导，并称此极限为函数y=f(x)在点题目图片

处的导数，或称函数在点题目图片

处的变化率，记作

14.

设D是由y=x，y=-x和题目图片

所围成的区域，则

（　）．

参考答案D

解析

15.

两平面x-y+2z-6=0和2x+y+z+5=0的夹角为（　）．

参考答案C

解析两平面法向量(1,-1,2)与(2,1,1)的夹角余弦值为题目图片

，故其夹角为

，故平面的夹角为

，故本题选C．
两平面的夹角:
我们定义两平面都夹角就是这两平面的法向量的夹角（通常指锐角或直角）．
设两平面分别为
题目图片

与

的夹角为

，则

，且

．

16.

已知f(x)在点x=1处可导，且取得极小值，则题目图片

=（　）．

参考答案A

解析

17.

已知

则

=（　）．

A.1/3
B.1/2
C.2/3
D.1

参考答案B

解析

．故本题选B．

18.

下列函数中，既是有界函数又是周期函数的是（　）．

A.
B.y=tan⁡3x
C.y=sin⁡2x+cos⁡2x
D.y=ln⁡(2x+1)

参考答案C

解析因为当x∈(0,+∞)时，题目图片

为减函数，所以

不是周期函数，选项A错误;y=tan⁡3x值域为R，故y=tan⁡3x不是有界函数，选项B错误;|sin⁡2x+cos⁡2x |≤|sin⁡2x |+|cos⁡2x |≤1+1=2，sin⁡2(x+π)+cos⁡2(x+π)=sin⁡2x+cos⁡2x，所以y=sin⁡2x+cos⁡2x既是有界函数又是周期函数，所以选项C正确;y=ln⁡(2x+1)值域为R，故y=ln⁡(2x+1)不是有界函数，选项D错误．故本题选C．
设函数y=f(x)在某区间内有定义，对于该区间内任意两点x₁，x₂，
如果x₁2，恒有f(x₁)2)，则称函数y=f(x)在该区间内单调增加;
如果x₁2，恒有f(x₁)>f(x₂)，则称函数y=f(x)在该区间内单调减少．
设f(x)的定义域D关于原点对称（即若x∈D，则有-x∈D）.
如果对于D内任意一点x，恒有f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为D内的偶函数;
如果对于D内任意一点x，恒有f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)为D内的奇函数．
设函数y=f(x)在某区间内有定义，若存在，对于该区间内任意的，恒有，则称函数在该区间内为有界函数．
若这样的正数不存在，则称在该区间内为无界函数．
设f(x)的定义域为D，若存在T>0，对于任意x∈D，有f(-x)∈D，且恒有fC=f(x)，则称函数y=f(x)为周期函数，T称为函数f(x)的周期，使上述关系式成立的最小正数T，称为函数f(x)的最小正周期．
通常我们说周期函数的周期是指最小正周期．

19.

极限

，a≠0，则a=（　）．

A.1
B.
C.2
D.-2

参考答案B

解析

故本题选B．

20.

函数f(x)=(x-1)/(x²-2x-3)的间断点有（　）．

A.x₁=-1，x₂=3
B.x₁=-1，x₂=-3
C.x₁=1，x₂=3
D.x₁=1，x₂=-3

参考答案A

解析因为f(x)为有理函数，故其间断点为使分母为零点，令x^2-2x-3=0⇒x₁=-1，x₂=3．故本题选A．
题目图片

21.

幂级数

的收敛区间为（　）．

A.(0,1)
B.(-∞,+∞)
C.(-1,1)
D.(-1,0)

参考答案C

解析因为

，所以幂级数

的收敛半径为1，收敛区间为(-1,1)．故本题选C．
设幂级数题目图片

，有

（1）若ρ≠0，则R= 题目图片

;
（2）若ρ=0，则R=+∞;
（3）若ρ=+∞，则R=0．

22.

参考答案A

解析

23.

函数

的间断点是（　）．

A.x=0
B.x=1
C.x=2
D.不存在

参考答案C

解析由2-x≠0⇒x≠2，故f(x)定义域为(-∞,2)∪(2,+∞)，又显然f(x)是初等函数，故其只有间断点x=2．故本题选C．
设函数f(x)在点题目图片

的某去心邻域内有定义.在此前提下，如果函数f(x)有下列三种情形之一:
（1）在点x= 题目图片

处没有定义;
（2）虽在x= 题目图片

处有定义，但

不存在;
（3）虽在x= 题目图片

处有定义，且

存在，但

≠f(

)，
则函数f(x)在点题目图片

处不连续，且点

称为函数f(x)的间断点或不连续点．

24.

微分方程

满足

的特解为（　）．

参考答案B

解析

又

故本题选B．
形如

的微分方程,可将两边同时积分得
题目图片

，
形如

与形如

的微分方程均可化为形如
题目图片

的微分方程再积分．

25.

微分方程

的特解形式为（　）．

参考答案C

解析微分方程

对应齐次微分方程y''-5y'+6y=0的特征方程r²-5r+6=0⇒ 题目图片

=2,

=3，故可设其特解为题目图片

．故本题选C．

26.

函数

（其中C是任意常数）对微分方程题目图片

而言（　）．

A.是通解
B.是特解
C.是解，但既非通解也非特解
D.不是解

参考答案C

解析因为

，所以

是微分方程

的解，但

含有任意常数C，故不是其特解，又任意常数个数为1，而微分方程题目图片

的阶数为2，故

也不是其通解.故本题选C．
微分方程的解:代入微分方程后能使方程成为恒等式的函数题目图片

特解:不含任意常数的解.
微分方程的通解:解中所含任意常数相互独立，且阶数与方程阶数相同．

27.

若f(x)为奇函数，则题目图片

是（）．

A.偶函数
B.奇函数
C.非奇非偶函数
D.不能确定奇偶性

参考答案B

解析由f(x)为奇函数知题目图片

，故该函数为奇函数．故本题选B．
题目图片

28.

参考答案B

解析

29.

=（　）．

A.0
B.3
C.e
D.∞

参考答案A

解析因为

，

，所以

，又

，所以

．故本题选A．
设函数z=f(x,y)在点题目图片

的某邻域内有定义（点题目图片

可以除外），如果当点P(x,y)（属于该邻域）以任意方式趋向于点题目图片

时，对应的函数值f(x,y)趋向于一个确定的常数A，则称A是函数z=f(x,y)当P(x,y)→ 题目图片

时的极限，记为

30.

设f(x)是连续函数，则题目图片

=（　）．

参考答案D

解析由复合函数求导法则知题目图片

．故本题选D．

二、填空题

请输入正确的答案，多个答案中间用分号隔开。

31.

函数

在区间

上的最大值为_____．

参考答案5

解析由

，显然当x=0或

时等号成立．

32.

设x⁶为f(x)的原函数，则题目图片

=_____．

参考答案5

解析由x⁶为f(x)的原函数⇒ 题目图片

33.

方程

在空间直角坐标系下表示的二次曲面是_____．

参考答案椭球面

解析

，由椭球面的定义知该方程表示的二次曲面是椭球面．
题目图片

34.

参考答案3

解析

函数的复合运算:

35.

微分方程

的通解为_____．

参考答案tan⁡xtan⁡y=C

解析由

全微分具有形式不变性:
设u=u(x,y),v=v(x,y)在点(x,y)处有连续偏导数，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)处有连续偏导数，则复合函数z=f(u,v)=f[u(x,y),v(x,y)]的全微分
题目图片

36.

设f(3-2x)的定义域为(-3,4]，则f(x)的定义域为_____．

参考答案[-5,9)

解析

37.

若

在

处连续，则a=_____．

参考答案1

解析

函数间断点的分类:
第一类间断点:若点x=x₀是函数f(x)的间断点，且左极限f(x₀^-)及右极限f(x₀⁺)都存在，那么x=x₀称为函数f(x)的第一类间断点．
（1）在第一类间断点中，若f(x₀^-)≠f(x₀⁺)，即题目图片

存在，则称x=x₀为可去间断点．
（2）在第一类间断点中，若f(x₀^-)≠f(x₀⁺)，则称x=x₀为跳跃间断点．
不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点．
（1）x₀为函数f(x)的第二类间断点，若当x→x₀时，函数f(x)→∞，则称x=x₀为函数f(x)的无穷间断点．
（2）x₀为函数f(x)的第二类间断点，若当x→x₀时，函数f(x)的极限不存在，呈上下振荡情形，则称x=x₀为函数f(x)的振荡间断点．

38.

曲线y=x³-3x²+2x-1的拐点为_____．

参考答案(1,-1)

解析y'=3x²-6x+2，y''=6x-6，令y''=0⇔6x-6=0⇔x=1，y(1)=-1，又y'''=6>0恒成立，故该曲线拐点为(1,-1)．
设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内存在二阶导数．
（1）如果在(a,b)内f''(x)>0，则曲线y=f(x)在(a,b)内是凹的;
（2）如果在(a,b)内f''(x)<0，则曲线y=f(x)在(a,b)内是凸的．

39.

已知f(x)=sin⁡x为可导函数，f(x)在点处x=0.002的近似值为_____．

参考答案0.002

解析sin⁡0.002=sin⁡0.002-sin⁡0≈cos⁡0×(0.002-0)=0.002．
题目图片

40.

=_____．

参考答案0

解析

如果函数f(x)与g(x)满足下列条件:
（1）题目图片

（2）在点

的某去心邻域内函数f(x)，g(x)都可导，且g' (x)≠0;
（3）题目图片

则

三、问答题

主观题不参与评分，请参考答案自行评分。

41.

求幂级数

的和函数．

参考答案<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2016422638339100672.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析

42.

已知某工厂生产x件产品的成本为题目图片

，若产品以每件500元售出，要使利润最大，应该生产多少件产品?最大利润是多少?

参考答案<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2016422638578176000.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 又由实际问题必有最大值知L(6000)=875000也是其最大值， 故应该生产产品6000件，最大利润是875000元．

解析设函数f(x)在点x₀的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任意一点x，有
（1）f(x)0)，则称f(x₀)为f(x)的极大值，其中x₀为f(x)的极大值点;
（2）f(x)>f(x₀)，则称f(x₀)为f(x)的极小值，其中x₀为f(x)的极小值点．

43.

求微分方程

的一个特解．

参考答案微分方程<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2016422638750142464.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">所对应的齐次微分方程的特征方程<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2016422638913720320.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">的解为<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2016422638989217792.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">， 故其特解可设为<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2016422639077298176.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">， 代入微分方程得<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2016422639148601344.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">， 故<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2016422639228293120.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">为微分方程<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2016422639299596288.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">的一个特解．

44.

设函数

求曲线

的凹凸区间和拐点．

参考答案<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2016422639635140608.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">， 显然当<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2016422639706443776.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">时，<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2016422639853244416.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">;当<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2016422640029405184.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">时，<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2016422640100708352.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">;当<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2016422640176205824.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">时，<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2016422640247508992.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，而<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2016422640339783680.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">， 所以<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2016422640406892544.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">的凸区间是<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2016422640478195712.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">， 所以<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2016422640406892544.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">的凹区间是<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2016422640553693184.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">， 其拐点是(1,0)．

解析设函数

在

上连续，在

内存在二阶导数．
（1）如果在题目图片

内

，则曲线

在

内是凹的;
（2）如果在题目图片

内

，则曲线

在

内是凸的．

45.

求由曲线

所围成的平面图形的面积．

参考答案<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2016422641262530560.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析几何意义
如果f(x)≥0，则由y=f(x)、x轴及两条直线x=a，x=b(a即题目图片

，A表示该图形的面积．

46.

求定积分

参考答案<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2016422641539354624.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析牛顿-莱布尼茨公式:
如果函数题目图片

是连续函数

在区间

上的一个原函数，则

上述公式叫作牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式．通常也把牛顿-莱布尼茨公式叫作微积分基本公式．

47.

将函数

展开成

的幂级数．

参考答案<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2016422642164305920.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析间接展开法是指利用一些已知函数的幂级数展开式，经过变量代换以及幂级数的四则运算、微分运算（逐项求导）、积分运算（逐项积分）等，将所给的函数展开成幂级数．

48.

求微分方程

满足初始条件

的特解．

参考答案<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2016422642424352768.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

49.

设

求

参考答案<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2016422642726342656.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析

50.

参考答案<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2016422642957029376.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析牛顿-莱布尼茨公式:
如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则
题目图片

上述公式叫作牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式．通常也把牛顿-莱布尼茨公式叫作微积分基本公式．

51.

计算不定积分

参考答案<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2016422643183521792.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析不定积分的性质:
设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则
题目图片

设函数f(x)的原函数存在，k为非零常数，则
题目图片

设函数f(x)的原函数存在，则
题目图片

设函数f(x)可导，则
题目图片

52.

参考答案<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2016422643707809792.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析罗尔中值定理:

53.

求由曲线y=x²，y=1/x，x=1/2，x=2所围成的平面图形的面积．

参考答案<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2016422643858804736.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析几何意义
如果f(x)≥0，则由y=f(x)、x轴及两条直线x=a,x=b(a，A表示该图形的面积．