2026年统考专升本《高等数学》考前点题卷一

高等数学 / 考前点题　共 53 题　更新于 2026-09-27

一、单选题

下列每小题的选项中，只有一项是最符合题意的正确答案，多选、错选或不选均不得分。

下列广义积分发散的是（　）．

参考答案A

解析

参考答案D

解析

一阶微分形式不变性:
题目图片

若函数

在区间[0,1]上满足罗尔(Rolle)定理的条件，则常数k=（　）．

A.-1
B.0
C.1
D.2

参考答案C

解析由函数

在区间[0,1]上满足罗尔(Rolle)定理的条件可得:f(0)=f(1)⇒ 题目图片

⇒k=1．故本题选C．
罗尔中值定理:
如果函数y=f(x)满足:
（1）在闭区间[a,b]上连续;
（2）在开区间(a,b)内可导;
（3）f(a)=f(b)，则在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使f'(ξ)=0．

设幂级数

在

处收敛，则该级数在

处（　）．

A.条件收敛
B.绝对收敛
C.发散
D.无法确定敛散性

参考答案B

解析

A.奇函数
B.偶函数
C.单调函数
D.有界函数

参考答案D

解析

函数

，则

=（　）．

参考答案C

解析

．故本题选C．
积分上限的函数及其导数:
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限的函数
题目图片

在[a,b]上可导，并且它的导数是
题目图片

下列广义积分收敛的是（　）．

参考答案C

解析

直线

与平面x+2y-z+3=0的位置关系是（　）．

A.互相垂直
B.互相平行但直线不在平面内
C.直线在平面内
D.斜交

参考答案C

解析因为(3,-1,1)∙(1,2,-1)=0，即直线方向向量与平面法向量垂直，又1+2×(-1)-2+3=0，即直线上点(1,-1,2)在平面x+2y-z+3=0上，所以该直线在该平面内．故本题选C．
（1）直线l与平面π垂直的充要条件为题目图片

（2）直线l与平面π平行或直线l在平面π内的充要条件为Am+Bn+Cp=0．

参考答案A

解析

故本题选A．
积分上限的函数及其导数:
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限的函数
题目图片

在[a,b]上可导，并且它的导数是
题目图片

10.

设

，则x=0是f(x)的（　）．

A.连续点
B.可去间断点
C.跳跃间断点
D.第二类间断点

参考答案B

解析因为f(x)在x=0处无定义，故x=0是f(x)的间断点，又题目图片

，所以x=0是函数f(x)的可去间断点．故本题选B．
函数间断点的分类:
第一类间断点:若点x=x₀是函数f(x)的间断点，且左极限f(x₀^-)及右极限f(x₀⁺)都存在，那么x=x₀称为函数f(x)的第一类间断点．
（1）在第一类间断点中，若f(x₀^-)≠f(x₀⁺)，即题目图片

存在，则称x=x₀为可去间断点．
（2）在第一类间断点中，若f(x₀^-)≠f(x₀⁺)，则称x=x₀为跳跃间断点．
不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点．
（1）x₀为函数f(x)的第二类间断点，若当x→x₀时，函数f(x)→∞，则称x=x₀为函数f(x)的无穷间断点．
（2）x₀为函数f(x)的第二类间断点，若当x→x₀时，函数f(x)的极限不存在，呈上下振荡情形，则称x=x₀为函数f(x)的振荡间断点．

11.

A.单调增加且是凹的
B.单调减少且是凹的
C.单调增加且是凸的
D.单调减少且是凸的

参考答案A

解析

12.

设f(x-1)=x(x-1)，则f(x)=（　）．

A.x(x+1)
B.(x-1)(x-2)
C.x(x-1)
D.不存在

参考答案A

解析

故本题选A．
设函数y=f(u)的定义域为Df，函数u=g(x)的定义域为Dg，且其值域Rg⊂Df，则由下式确定的函数y= f[g(x)]，x∈Dg称为由函数u=g(x)与函数y=f(u)构成的复合函数，它的定义域为Dg，变量u称为中间变量，f称为外函数，g称为内函数．函数f(u)和u=g(x)按“先g后f”次序的复合函数运算可简记为f∘g．

13.

若z=f(x,y)在点题目图片

处可微，则它在点

处，以下结论不正确的是（　）．

A.极限存在
B.连续
C.偏导数存在
D.偏导数连续

参考答案D

解析因为偏导数存在、连续与极限存在均为可微必要条件，故选项ABC正确;又偏导数连续为可微充分不必要条件，故选项D错误．故本题选D．
如果函数z=f(x,y)在点题目图片

处可微，则函数在该点连续．

14.

参考答案D

解析

15.

（　）．

A.-3/2
B.1/2
C.1/6
D.1

参考答案C

解析

故本题选C．

16.

A.(-6，3，2)
B.(6，3，-2)
C.(-6，-3，-2)
D.(6，-3，-2)

参考答案B

解析

两点关于坐标轴对称，则与坐标轴对应坐标相等，其余坐标互为相反数．

17.

设函数

在点

处可导，且

，则

=（　）．

A.
B.
C.2
D.-2

参考答案A

解析由

．故本题选A．
设函数题目图片

在点

的某个领域内有定义，在点题目图片

处给自变量

一个改变量

（

也在该邻域内），相应地函数题目图片

有改变量

如果极限

存在，则称函数

在点

可导，并称此极限为函数题目图片

在点

处的导数，或称函数在点题目图片

处的变化率，记作

18.

曲线

的凸区间是（　）．

A.(-∞,-1)
B.(-1,1)
C.(0,1)
D.(1,+∞)

参考答案C

解析

设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内存在二阶导数．
（1）如果在(a,b)内f''(x)>0，则曲线y=f(x)在(a,b)内是凹的;
（2）如果在(a,b)内f''(x)<0，则曲线y=f(x)在(a,b)内是凸的．

19.

=（　）．

A.-4
B.5
C.0
D.4

参考答案B

解析

故本题选B．
被积函数中的常数因子可以提到积分号外，即
题目图片

两个函数代数和、差的积分等于积分的代数和差，即
题目图片

20.

若级数

收敛，下列级数中收敛的是（　）．

参考答案A

解析

比较审敛法的极限形式:
题目图片

21.

已知

，当

时，

，则当

时必有（　）．

A.
B.
C.
D.f(x)

参考答案A

解析当

时，由

．故本题选A．
拉格朗日中值定理:设函数y=f(x)满足下列条件:
（1）在闭区间[a,b]上连续;
（2）在开区间(a,b)内可导;
则在开区间(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ

22.

函数y=[x]=n,n≤x

A.{0,1,2,3,⋯}
B.{1,2,3⋯}
C.(-∞,+∞)
D.{0,±1,±2,⋯}

参考答案D

解析记该函数值域为A，由该函数解析式知其函数值必为整数，故A⊆{0,±1,±2,⋯};又对任意整数n，取x=n+1/2，则有[n+1/2]=n，故{0,±1,±2,⋯}⊆A;综上:{0,±1,±2,⋯}=A．故本题选D．
题目图片

23.

设函数

满足

若

，则（　）．

A.为的极小值
B.为的极大值
C.是曲线的拐点
D.不是的极值，也不是曲线的拐点

参考答案A

解析

函数f(x)的一阶、二阶、和三阶导数分别表示为f'(x)，f''(x)和f'''(x)，四阶及以上导数表示为f⁽ⁿ⁾(x)，其中n≥4．可见求高阶导数就是接连的求导．

24.

参考答案D

解析

积分上限的函数及其导数:
题目图片

25.

数项级数

（其中

为常数）（　）．

A.发散
B.条件收敛
C.收敛性根据确定
D.绝对收敛

参考答案D

解析因为

，故由

收敛可知

收敛，所以

绝对收敛．故本题选D．
比较审敛法的极限形式:
设题目图片

都是正项级数，且

，
（1）若

同时收敛或同时发散．
（2）若题目图片

收敛，则

收敛．
（3）若

发散，则

发散．

26.

曲线x=t²，y=1-t，z=t³在点(1,0,1)处的法平面方程是（　）．

A.2x+y+3z-5=0
B.2x-y-3z-5=0
C.2x-y+3z-5=0
D.x-2y-3z+2=0

参考答案C

解析因为x'(t)=2t，y'(t)=-1，z'(t)=3t²，x'(1)=2，y'(0)=-1，z'(1)=3，所以曲线x=t²，y=1-t，z=t³在点(1,0,1)处的法平面方程是2(x-1)-(y-0)+3(z-1)=0⇒2x-y+3z-5=0．故本题选C．
曲线
题目图片

在点处的切线方程为

法平面方程为

27.

幂级数

在x=-3处收敛，则题目图片

=（　）．

A.0
B.-3
C.2
D.不存在

参考答案A

解析由幂级数

在x=-3处收敛⇒l 题目图片

故本题选A．

28.

设D是由y=x，y=-x和题目图片

(R>0)所围成的区域，则题目图片

=（　）．

参考答案C

解析令

，则

．故本题选C．
设函数f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续.对弧长的曲线积分的计算可分为以下几种情况:
（1）若曲线弧L的方程为y=y(x)，x∈[a,b]，且y=y(x)在[a,b]上具有一阶连续导数，则
题目图片

（2）若曲线弧L的方程为x=x(y)，y∈[c,d]，且x=x(y)在[c,d]上具有一阶连续导数，则
题目图片

（3）若曲线弧L的参数方程为题目图片

t∈[α,β]，x=x(t)，y=y(t)在[α,β]上有一阶连续导数，且题目图片

，则

29.

设f(x)为奇函数，则它的一个原函数是（　）．

A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数，又是偶函数
D.不确定奇偶性

参考答案B

解析

设f(x)是定义在区间I上的函数，如果存在可导函数F(x)，使得F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx，x∈I，则称函数F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数．

30.

f(x)连续且不等于零，若
题目图片

，则

=（　）．

A.
B.
C.
D.x+C

参考答案B

解析

故本题选B．
不定积分的性质:
设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则
题目图片

设函数f(x)的原函数存在，k为非零常数，则
题目图片

设函数f(x)的原函数存在，则
题目图片

设函数f(x)可导，则
题目图片

二、填空题

请输入正确的答案，多个答案中间用分号隔开。

31.

定积分

=_____．

参考答案4

解析

32.

设二元函数z=xln⁡y，则题目图片

=_____．

参考答案1/y

解析

33.

幂级数

的收敛半径R=_____．

参考答案1

解析因为

，所以幂级数

的收敛半径R=1．
设幂级数题目图片

，有

（或

）．
（1）若ρ≠0，则R=1/ρ;
（2）若ρ=0，则R=+∞;
（3）若ρ=+∞，则R=0．

34.

设

在点

处可导，且

，则

=_____．

参考答案-6

解析

35.

若

则

_____．

参考答案1

解析

被积函数中的常数因子可以提到积分号外，即
题目图片

（k是常数）.
两个函数代数和、差的积分等于积分的代数和差，即
题目图片

36.

．

参考答案16x+1

解析

函数的复合运算:
设函数y=f(u)的定义域为D_f，函数u=g(x)的定义域为D_g，且其值域R_g⊂D_f，则由下式确定的函数称u=f[g(x)]，x∈D_g称为由函数u=g(x)与函数y=f(u)构成的复合函数，它的定义域为D_g，变量u称为中间变量，f称外外函数，g称为内函数.函数f(u)和g(x)按照“先g(x)后f(u)”次序的复合运算也可简记为f∘g．

37.

参考答案0

解析

38.

定积分

=_____．

参考答案-2/3

解析

．

39.

幂级数

的和函数S(x)=_____．

参考答案e-2x

解析

间接展开法是指利用一些已知函数的幂级数展开式，经过变量代换以及幂级数的四则运算、微分运算（逐项求导）、积分运算（逐项积分）等，将所给的函数展开成幂级数．

40.

，则

=_____．

参考答案2

解析

三、问答题

主观题不参与评分，请参考答案自行评分。

41.

求函数f(x,y)=2xy-3x²-2y²+10的极值．

参考答案<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2016422615383674880.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析极小值点和极大值点统称为极值点;极小值和极大值统称为极值.
设函数z=f(x,y)在点题目图片

的某邻域内有定义（点题目图片

可以除外），如果当点P(x,y)（属于该邻域）以任意方式趋向于点题目图片

时，对应的函数值f(x,y)趋向于一个确定的常数A，则称A是函数z=f(x,y)．

42.

求方程(y²-6x)y'+2y=0的通解．

参考答案<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2016422615454978048.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析全微分具有形式不变性:
设u=u(x,y)，v=v(x,y)在点(x,y)处有连续偏导数，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)处有连续偏导数，则复合函数z=f(u,v)=f[u(x,y),v(x,y)]的全微分
题目图片

43.

求微分方程

的通解．

参考答案<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2016422615559835648.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析全微分具有形式不变性:
设题目图片

在点

处有连续偏导数，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)处有连续偏导数，则复合函数题目图片

的全微分

44.

计算二重积分

，其中D是由曲线

，和

轴所围成的闭区域．

参考答案<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2016422615924740096.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析二重积分的几何意义:
由二重积分的定义可知，二重积分是二元函数在一平面闭区域上作的一特殊和的极限运算，积分结果是一个常数．从几何上可解释为:
题目图片

45.

设

其中f(u,v)可微，求
题目图片

参考答案<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2016422616109289472.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析全微分具有形式不变性:
设题目图片

在点(x,y)处有连续偏导数，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)处有连续偏导数，则复合函数
题目图片

的全微分

46.

函数

是由方程

所确定的隐函数，求

参考答案<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2016422616390307840.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析一阶微分形式不变性:
如果函数y=f(u)可微，函数u=u(x)也可微，则复合函数y=f[u(x)]的微分为
dy=f'(u)∙u'(x)dx=f'(u)du．
由此可见，不论u是自变量还是中间变量，函数的微分总保持dy=f'(u)du的形式．这一性质称为一阶微分形式不变性．

47.

参考答案<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2016422616528719872.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析

48.

求不定积分

参考答案<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2016422616662937600.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析

49.

求幂级数

的和函数．

参考答案<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2016422616776183808.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析设幂级数

在收敛区间(-R,R)内的和函数为S(x)，则
（1）微分运算
题目图片

其收敛区间为(-R,R)．
（2）积分运算
题目图片

其收敛区间为(-R,R)．
（3）极限运算
当x₀∈(-R,R)时，有
题目图片

50.

求函数z(x,y)=y³-x²+6x-12y+10的极值．

参考答案<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2016422616994287616.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析

51.

设f(x)在[0,c]上有定义，f'(x)存在且单调减少，f(0)=0，证明对于0≤a≤b≤a+b≤c，恒有f(a+b)≤f(a)+f(b)．

参考答案<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2016422617170448384.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析

52.

参考答案<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2016422617283694592.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析

53.

过坐标原点作曲线

的切线l，切线l与曲线题目图片

及y轴围成的平面图形记为G．求:
（1）切线l的方程;
（2）G的面积．

参考答案<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2016422617388552192.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析