中国精算师考试《金融数学》预测试题卷一
一、单选选择题
下列每小题的选项中，只有一项是最符合题意的正确答案，多选、错选或不选均不得分。
1.
已知
，则第10年的
等于（ ）。
，则第10年的等于（ ）。参考答案D
解析由已知，得:
，
所以，
，
又
，故
。
，得:，所以，
，又
，故。
2.
已知
=3/（15-t），0≤t≤15，则
的值为（ ）。
=3/（15-t），0≤t≤15，则的值为（ ）。参考答案C
解析由于
，
，所以
。
，，所以。
3.
某年金分20年于每月月初支付30元。利息每月转换一次，年名义利率为12%，则该年金现值为（ ）元。
参考答案B
解析由i（12）=12%，得月实际利率为:
，
故该年金现值为:
=2751.84（元）
，故该年金现值为:
=2751.84（元）
4.
有甲、乙两个投资额相同的项目，甲投资项目为期20年，前10年的收益率为15%；乙投资项目为期20年，收益率为12%。则甲投资项目后10年的再投资收益率为（ ）时，能使甲、乙两个投资项目在20年投资期中收益率相等。
参考答案E
解析根据题意得:1.1510（1+i）10=1.1220，所以
。
。
5.
某人在期货交易市场上先投入10000元买入1年期期货，一年后作为现货卖出且另外卖空一部分一年期期货，共24500元，又过一年，投入15000元买入现货支付到期期货。则该投资人的投资收益率为（ ）。
参考答案D
解析根据题意，现金流为:R0=－10000，R1=24500，R2=－15000，则由
得:
，即
，所以
=0.2或=0.25。
得:，即，所以=0.2或=0.25。
6.
已知在未来三年中，银行第一年的实际利率为7.5%，第二年按计息两次的名义利率12%计息，第三年按计息四次的名义利率12.5%计息，某人为了在第三年未得到500000元的款项，第一年初需要存入银行多少？（ ）
参考答案C
解析设第一年初需存入银行X元，则
500000，得:
=366010.853。
500000，得:=366010.853。
7.
一个面值为1000元的债券的半年度息票率为6%，在发行5年后可按面值赎回，发行时的收益率为半年度7%；如果债券在5年末不赎回，将在10年末到期，发行者偿还1000+X也可保证投资者的收益率为半年度7%，则X等于（ ）元。
参考答案A
解析当债券在第5年末赎回时，其价格为:
当债券在第10年末赎回时，其价格为:
由题意，得:
解得:X=58.65。
当债券在第10年末赎回时，其价格为:
由题意，得:
解得:X=58.65。
8.
甲债券的期限为5年，年息票率为6%，投资者的年收益率为4%；若用年息票率为5%的乙债券代替甲债券，且使投资者仍然获得4%的年收益率，则乙债券的期限为（ ）年。
参考答案B
解析由题意，得:
即2×（1－v5）=1－
，解得:n=11.18。
即2×（1－v5）=1－
，解得:n=11.18。
9.
一种不支付红利的股票，其6个月期的远期价格为50元，目前市场上6个月至1年的远期利率为10％，则该股票1年期的远期价格为（ ）元。
参考答案A
解析该股票1年期的远期价格为:
（元）
（元）
10.
一种5年期债券的现货价格为950元，该债券1年期远期合约的交割价格为960元，该债券在6个月末和12个月末都将收到50元的利息，且第二次付息日在远期合约交割日之前。假设6个月期和22个月期的无风险年利率（连续复利）分别为9％和10％，则该远期合约空头的价值为（ ）元。
参考答案B
解析该债券已知现金收益的现值为:
I=50e-0.09×0.5+50e-0.10×1=93.04（元）
该远期合约多头的价值为:
f=950-93.04-960e-0.1×1=-11.68（元）
相应地，该合约空头的价值为11.68元。
I=50e-0.09×0.5+50e-0.10×1=93.04（元）
该远期合约多头的价值为:
f=950-93.04-960e-0.1×1=-11.68（元）
相应地，该合约空头的价值为11.68元。
11.
某股票的当前价格为100美元，在今后每6个月内，股票价格或者上涨10％或下跌10％，无风险利率为每年8％（连续复利），执行价格为100美元，1年期的看跌期权的价格为（ ）美元。
参考答案A
解析下图给出利用二叉树图为看跌期权定价的方法，得到期权价值为1.92美元。
期权价值也可直接通过方程式得到:
由题意知
，
，从而
。
（美元）
期权价值也可直接通过方程式得到:
由题意知
，，从而。（美元）
12.
某股票的当前价格为50美元，已知在2个月后股票价格将变为53美元或48美元，无风险利率为每年10％（连续复利），执行价格为49美元，期限为2个月的欧式看涨期权价格为（ ）美元。
参考答案C
解析①两个月结束的时候，期权的价值或者为4美元（如果股票价格为53美元），或者为0美元（如果股票的价格为48美元）。考虑一份资产组合的构成:＋△:股票，－1:期权。
两个月后组合的价值或者为48Δ或者为53Δ－4。如果:
，也即:
，
资产组合的价值为38.4美元（48×0.8或者53×0.8－4）。因此对于组合来说，Δ的值是无风险的。组合的现值为:
，其中
是期权的价值。
因为组合必须以无风险的利率盈利:
，也即:
（美元），因此期权的价值为2.23美元。
②可以直接运用公式:
，其中:
。由题意知，u=1.06，d=0.96，因此:
，
2.23（美元），可见，两种方法结果一致。
两个月后组合的价值或者为48Δ或者为53Δ－4。如果:
，也即:，资产组合的价值为38.4美元（48×0.8或者53×0.8－4）。因此对于组合来说，Δ的值是无风险的。组合的现值为:
，其中是期权的价值。因为组合必须以无风险的利率盈利:
，也即:（美元），因此期权的价值为2.23美元。②可以直接运用公式:
，其中:。由题意知，u=1.06，d=0.96，因此:，2.23（美元），可见，两种方法结果一致。
13.
股票A的期望收益率是14%，标准差为25%，无风险利率是4%。一个投资者的效用函数:
。若该投资者在投资风险组合和无风险资产之间是没有差异的，则A=（ ）。
。若该投资者在投资风险组合和无风险资产之间是没有差异的，则A=（ ）。参考答案B
解析对两个投资无差异，则两个投资的效用必然相同。由于国库券是无风险的，它的效用是4%的收益率，通过效用函数0.04=0.14-0.005A×0.252，解得A=320。
14.
假设一个回避风险的投资者。投资组合1的期望收益率是14%，标准差σ=0.18；投资组合2的标准差σ=0.25，年末现金流为5000和14000美元的概率是相等的，若在投资组合1和投资组合2的选择上没有差别，则投资组合2的价格是（ ）。
参考答案E
解析投资组合1的变异系数为0.18/0.14=1.2857，要使投资者在投资组合1和投资组合2之间的选择上没有差别，则组合2的变异系数为1.2857=0.25/E（r），解得E（r）=0.19445。投资组合2的期末期望价值是，0.5×5000+0.5×14000=9500。根据0.19445=（9500-P）／P，得P=7953.45美元。
15.
假定无风险利率为6%，市场收益率是16%。投资者购入某企业，其预期的永久现金流为1000美元，但因有风险而不确定。如果投资者认为企业的
值是0.5，当值实际为1时，投资者愿意支付的金额比该企业实际价值高（ ）美元。
值是0.5，当值实际为1时，投资者愿意支付的金额比该企业实际价值高（ ）美元。参考答案C
解析假定1000美元是永久支付的。如果β是0.5，现金流应该按预期收益率折现:
6%＋0.5×（16%－6%）=11%
投资者支付价值的现值为PV=1000／0.11=9090.91（美元）
但是，如果
等于1，则投资的预期收益率就应等于16%，支付给企业的价格就应该为:
净现值PV=1000／0.16=6250（美元），因此多支付了2840.91美元。
6%＋0.5×（16%－6%）=11%
投资者支付价值的现值为PV=1000／0.11=9090.91（美元）
但是，如果
等于1，则投资的预期收益率就应等于16%，支付给企业的价格就应该为:净现值PV=1000／0.16=6250（美元），因此多支付了2840.91美元。
16.
15年前的一笔面值为300000元的债券，每年的分红利率为面值的8%，年末支付。债券期限为30年。每年末返还（赎回）面值为10000元的债券，第一个10年按票面价值返还，下一个10年按面值的105%返还，剩下的10年按面值的110%返还。
在第15年的返还刚刚支付之后，一个投资人购买了剩余的债券，投资人不需要缴纳收入所得税，但须缴纳资本增益税，在下一个10年按35%的税率纳税，然后在剩下的时间里按30%纳税。如果投资人希望得到10%的年收益率，他应支付的价格为（ ）元。
在第15年的返还刚刚支付之后，一个投资人购买了剩余的债券，投资人不需要缴纳收入所得税，但须缴纳资本增益税，在下一个10年按35%的税率纳税，然后在剩下的时间里按30%纳税。如果投资人希望得到10%的年收益率，他应支付的价格为（ ）元。
参考答案D
解析（1）该债券尚有15年的期限，这期间有三种不同的情况:
①第一个五年返还（赎回）价格为105%，资本增益税率为35%；
②第二个五年返还价格为110%，资本增益税率为35%；
③第三个五年返还价格为110%，资本增益税率为30%。
不计其他费用，投资人要估算债券将来的各项返还，即（K1+K2+K3），其中
=37907.87（元），
=23537.80（元），
=14615.12（元），
故K1+K2+K3=76060.79（元）。
（2）此时，未返还的债券名义上是10000×15=150000（元）。所以该债券的现金价值（不包含税，包括返还时的额外支出）是:
=140922.84（元）。
（3）设投资人支付的价格为
，由于每年的返还时等额的，即每年返还其成本为/15。所以资本增益税为:
=27816.18－0.172603
故有:=140922.84－（27816.18－0.172603），解得:=136701.80。故投资人应付的价格为136701.8元。
①第一个五年返还（赎回）价格为105%，资本增益税率为35%；
②第二个五年返还价格为110%，资本增益税率为35%；
③第三个五年返还价格为110%，资本增益税率为30%。
不计其他费用，投资人要估算债券将来的各项返还，即（K1+K2+K3），其中
=37907.87（元），=23537.80（元），=14615.12（元），故K1+K2+K3=76060.79（元）。
（2）此时，未返还的债券名义上是10000×15=150000（元）。所以该债券的现金价值（不包含税，包括返还时的额外支出）是:
=140922.84（元）。（3）设投资人支付的价格为
，由于每年的返还时等额的，即每年返还其成本为/15。所以资本增益税为:=27816.18－0.172603
故有:
=140922.84－（27816.18－0.172603），解得:=136701.80。故投资人应付的价格为136701.8元。
17.
假设在Vasicek模型中，
=0.15，
=0.08，初始的短期利率为8.1%短期利率在短时间
内变化的初始标准差为0.023
，由该模型计算的5年期零息债券的价格为（ ）。
=0.15，=0.08，初始的短期利率为8.1%短期利率在短时间内变化的初始标准差为0.023，由该模型计算的5年期零息债券的价格为（ ）。参考答案C
解析由
，
；
；
；
；此外，利率风险的市场价格
。于是
，；；；；此外，利率风险的市场价格。于是
18.
目前黄金的现货价格为325美元／盎司，而且90天的黄金期货合约价格为329美元（面值为100盎司）。如果90天的国债收益率为3.79％到3.82％之间，不考虑储存成本和交割成本，期货合约价格的理论最大值为（ ）美元。
参考答案D
解析黄金的远期价格=现货价格×exp（无风险利率×合约期限），所以远期价格上限为325×exp（3.78％×90／365）=328.04。
19.
考虑一个欧式看涨期权，其标的资产为不分红的股票。目前股价为100美元／股，执行价格为102美元／股，期权期限为9个月，无风险利率为7.25％。该期权价格的下限为（ ）美元。
参考答案C
解析max（0，S0-K（1+r）-T）=max（0，100-102×（1+7.25％）-9/12）=3.216（美元）
20.
如果一份6个月期、执行价格为120美元的股票看涨期权价格为30美元，现在股价为100美元，无风险利率为5％，那么相同期限、同一标的资产及执行价格的看跌期权的价格为（ ）美元。
参考答案B
解析根据期权平价公式，可以得到
=30+120×（1+5％）-1/2-100=47.11（美元）
如果一份欧式看涨期权和一份欧式看跌期权标的资产、执行价格、到期日都相等，但它们的市场价格却不满足这一平价关系，就可以认为这之间存在着套利机会。
=30+120×（1+5％）-1/2-100=47.11（美元）如果一份欧式看涨期权和一份欧式看跌期权标的资产、执行价格、到期日都相等，但它们的市场价格却不满足这一平价关系，就可以认为这之间存在着套利机会。
21.
一只不分红的股票现价为37美元。在接下来的两年里，每年股价要么上升5％，要么下降5％。连续无风险收益率为7％。则期限为两年、执行价格为38美元的美式看跌涨期权的价值为（ ）美元。
参考答案C
解析二叉树过程如下图所示。
考虑
时，上下两个节点是否要提前执行美式看跌期权。
在上面这个节点，如果不提前执行期权，则期权价值为
=0.3473（美元）
如果提前执行期权，则可得收益0。（该节点股票价格为38.85美元，不应该提前执行）所以，该节点处期权价值P+=max（0.3473，0）=0.3473美元。
在下面这个节点，不提前执行期权的价值为
=2.1908（美元）
提前执行期权的收益为38-35.15=2.85美元，所以应该提前执行期权，此节点期权价值为
=max（2.1908，2.85）=2.85（美元）。
最后，递推到t=0时，可得
=1.1368（美元）
考虑
时，上下两个节点是否要提前执行美式看跌期权。在上面这个节点，如果不提前执行期权，则期权价值为
=0.3473（美元）如果提前执行期权，则可得收益0。（该节点股票价格为38.85美元，不应该提前执行）所以，该节点处期权价值P+=max（0.3473，0）=0.3473美元。
在下面这个节点，不提前执行期权的价值为
=2.1908（美元）提前执行期权的收益为38-35.15=2.85美元，所以应该提前执行期权，此节点期权价值为
=max（2.1908，2.85）=2.85（美元）。最后，递推到t=0时，可得
=1.1368（美元）
22.
一个决策者有9个单位资产，并且具有效用函数u（x）=2x2+10，他面临的随机损失的数学期望为4个单位资产，方差为10，则为预防其面临的随机损失，该决策者最多能承受保费（ ）个单位。
参考答案B
解析设该决策者面临的损失随机变量为X，决策者能够承受的最高保费为P，则:
E[u（9－X）]=u（9－P），E（X）=4，Var（X）=10。
而E[u（9－X）]=E[2（9－X）2+10]=2E（9－X）2+10
=2E（81－18X+X2）+10
=162－2×18E（X）+2E（X2）+10
=162－2×18×4+2[Var（X）+E2（X）]+10
=162－2×18×4+2（10+42）+10
=80；
u（9－P）=2（9－P）2+10=172－36P+2P2。
故80=172－36P+2P2，解得:P=15或P=3，因此最高保费为15。
E[u（9－X）]=u（9－P），E（X）=4，Var（X）=10。
而E[u（9－X）]=E[2（9－X）2+10]=2E（9－X）2+10
=2E（81－18X+X2）+10
=162－2×18E（X）+2E（X2）+10
=162－2×18×4+2[Var（X）+E2（X）]+10
=162－2×18×4+2（10+42）+10
=80；
u（9－P）=2（9－P）2+10=172－36P+2P2。
故80=172－36P+2P2，解得:P=15或P=3，因此最高保费为15。
23.
市场由A，B，C三种证券在2:3:2比例构成，三种证券的收益率分别用
表示，收益率的标准差分别为40%，20%，10%，任意两种证券相关系数均为0.5，假设市场组合的年期望收益率为22.86%，市场无风险利率为3.007%，根据CAPM计算
期望值（ ）。
表示，收益率的标准差分别为40%，20%，10%，任意两种证券相关系数均为0.5，假设市场组合的年期望收益率为22.86%，市场无风险利率为3.007%，根据CAPM计算期望值（ ）。参考答案B
解析
24.
考虑一种特定股票收益的多因素证券收益模型，如下表所示。
目前，国库券可提供6%的收益率，市场认为该股票是公平定价的。假定下面第一列给出的三种宏观因素的值是市场预测值，而实际值在第二列给出。如下表所示。在这种情况下，该股票的期望收益率和修正后的期望收益率分别为（ ）。
目前，国库券可提供6%的收益率，市场认为该股票是公平定价的。假定下面第一列给出的三种宏观因素的值是市场预测值，而实际值在第二列给出。如下表所示。在这种情况下，该股票的期望收益率和修正后的期望收益率分别为（ ）。
参考答案A
解析股票的期望收益率为:E（r）=6%＋1.2×6%＋0.5×8%＋0.3×3%=18.1%
宏观因素实际量与预期不一致所产生的非期望收益=1.2×（4%－5%）＋0.5×（6%－3%）＋0.3×（0%－2%）=－0.3%，修正的预期收益为18.1%-0.3%=17.8%。
宏观因素实际量与预期不一致所产生的非期望收益=1.2×（4%－5%）＋0.5×（6%－3%）＋0.3×（0%－2%）=－0.3%，修正的预期收益为18.1%-0.3%=17.8%。
25.
如果X与Y都是充分分散化的资产组合，无风险利率为8%。如下表所示。
根据这些内容可以推断出资产组合X与资产组合Y（ ）。
根据这些内容可以推断出资产组合X与资产组合Y（ ）。
参考答案B
解析既然资产组合X的β=1.0，则组合X是市场组合，其期望收益率E（RM）=16%，而无风险利润率
=8%和市场组合收益率RM计算出的相同贝塔值的均衡收益率与资产组合Y的期望收益率不同，因而存在套利机会。
=8%和市场组合收益率RM计算出的相同贝塔值的均衡收益率与资产组合Y的期望收益率不同，因而存在套利机会。二、材料题
-
根据下表提供的信息回答（1）～（5）题:
假定投资者预计未来4年的利率水平如下表变化。
假定投资者预计未来4年的利率水平如下表变化。
26.
一张面值是1000美元的2年期零息债券的价格是（）美元。
参考答案C
解析2年期零息债券的价格是面值除以相关的到期收益率，即1000/1.062=890.00（美元）。
27.
一张面值是1000美元的3年期零息债券的价格是（）美元。
参考答案E
解析3年期零息债券的价格是面值除以相关的到期收益率，即1000/1.073=816.30（美元）。
28.
一张面值是1000美元的4年期零息债券的价格是（）美元。
参考答案E
解析4年期零息债券的价格是面值除以相关的到期收益率，即1000/1.084=735.03（美元）。
29.
一张4年期的面值是1000美元且息票率是年付10％，并且在到期日按面值1000元兑付。则该债券的价格是（）美元。
参考答案C
解析为了计算价格，把每一个债券的现金流当做一个独立的到期期限，然后用每一个现金流除以对应的到期收益率。所以债券的价格为：1100/1.084+100/1.073+100/1.062+100/1.05=1074.40（美元）。
30.
一张4年期的面值是1000美元，息票率是年付10％，并且在到期日按面值1000元兑付。则该债券的到期收益率是（）。
参考答案B