《线性代数（经管类）》全国高等教育自学考试考前点题卷一
一、单项选择题
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的。错选、多选或未选均无分。
1.
参考答案B
解析
2.
设三阶实对称矩阵A的特征值分别为-1，-2，0，则（ ）
参考答案D
解析正定矩阵
特征值全大于0.
负定矩阵特征值全小于0.
半正定矩阵特征值中含0，而其余全大于0.
半负定矩阵特征值中含0，而其余全小于0.
特征值全大于0.负定矩阵
特征值全小于0.半正定矩阵
特征值中含0，而其余全大于0.半负定矩阵
特征值中含0，而其余全小于0.
3.
- A.
- B.
- C.
- D.
参考答案A
解析
4.
参考答案B
解析
5.
已知A、B为n阶方阵，且满足A2=B2，则必有（ ）
参考答案B
解析
二、填空题
每题2分，共10题，共20分。
6.
设向量
=(1，0，-1)，则它的单位化向量为_____.
=(1，0，-1)，则它的单位化向量为_____.参考答案详见解析
解析
7.
参考答案详见解析
解析
8.
参考答案详见解析
解析因A为正定矩阵，所以|A|>0，即3(a-1)>0，得a>1.
9.
参考答案详见解析
解析
10.
已知三阶矩阵A的特征值为λ
=0，λ2=4，λ3=1，则r(A)=_______.
=0，λ2=4，λ3=1，则r(A)=_______.参考答案详见解析
解析由矩阵的秩与其对应的非零特征值的个数相等，得r(A)=2.
11.
设向量组
=(1，2，3)
，
=(1，0，-1)，
=(2，1，0)与向量组β1，β2，β3等价.则向量组β1，β2，β3的秩为______.
=(1，2，3)，=(1，0，-1)，=(2，1，0)与向量组β1，β2，β3等价.则向量组β1，β2，β3的秩为______.参考答案详见解析
解析
12.
若向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)：=(1，2，3)，=(2，4，5)，=(0，0，6)等价，则(Ⅰ)的秩=_______.
=(1，2，3)，=(2，4，5)，=(0，0，6)等价，则(Ⅰ)的秩=_______.参考答案详见解析
解析
13.
设向量a=(1，2，3，4)，则α的长度为_____.
参考答案详见解析
解析
14.
若η=(1，2，2)，η
=(3，2，1)是Ax=b的两个解，则此方程组的导出组Ax=0也有一个解为_______.
=(1，2，2)，η=(3，2，1)是Ax=b的两个解，则此方程组的导出组Ax=0也有一个解为_______.参考答案详见解析
解析导出组Ax=0有一个解为，η2-η1=(2，0，-1)T.
15.
已知四阶行列式D的第二行元素为1，0，-2，3，第四行元素对应的代数余子式依次6，-2，k，1，则k=_______.
参考答案详见解析
解析
三、计算题
每题9分，共7题，共63分。
16.
参考答案详见解析
解析
17.
参考答案详见解析
解析
18.
参考答案详见解析
解析
19.
设向量α=(2，1，3)，β=(1，2，3)，
求；(1)若满足A=α
β，求A
.
(2)向量α与β的内积(α，β).
求；(1)若满足A=α
β，求A.(2)向量α与β的内积(α，β).
参考答案详见解析
解析
20.
(1)判定A是否可对角化，说明理由；
(2)若A可与对角矩阵相似，求可逆矩阵P和对角矩阵A，使P
AP=A.
(1)判定A是否可对角化，说明理由；
(2)若A可与对角矩阵相似，求可逆矩阵P和对角矩阵A，使P
AP=A.参考答案详见解析
解析
21.
参考答案详见解析
解析
22.
(1)讨论λ为何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多个解；
(2)在方程组有无穷多个解时，求出方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系
表示).
(1)讨论λ为何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多个解；
(2)在方程组有无穷多个解时，求出方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系
表示).
参考答案详见解析
解析
四、证明题
每题7分，共1题，共7分。
23.
已知矩阵A，B，A+B均可逆，证明：A
+B也可逆，且(A+B)=A(A+B)B.
+B也可逆，且(A+B)=A(A+B)B.参考答案详见解析
解析