2026年教师资格证《高中数学》预测试卷一
一、单项选择题
每题5分，共8题，共40分
1.
设函数y=ƒ(x)在点xo处可导，△y=ƒ(x0+h)-ƒ(x0)，则h→0时，必有（ ）。
参考答案D
解析略
2.
参考答案A
解析略
3.
a与b为非零自然数，且b+1=a，那么a与b的最小公倍数是（ ）。
参考答案D
解析依题意可知a、b为连续非零自然数，则a、b无公约数，所以a与b的最小公倍数为二者的乘积ab。
4.
参考答案A
解析略
5.
设
的二项展开式中第四项为常数项，则n的值为（ ）。
的二项展开式中第四项为常数项，则n的值为（ ）。参考答案C
解析设二项展开式的通项
6.
已知抛物线
一个交点为
的值为（ ）。
一个交点为的值为（ ）。参考答案D
解析抛物线C1的焦点是双曲线C2的右焦点，抛物线C1的准线为l：x=-4，抛物线的焦点为(4，0)，所以
7.
当a取何值时，四点M1(a，-4，5)，M2(3，-1，2a)，M3(0，-10，7)，M4(0，1，6)共面？（ ）
- A.1
- B.
- C.0
- D.
参考答案D
解析四点共面的充要条件是
8.
在创建解析几何学的过程中，法国数学家（ ）和费马做出了重要贡献，成为解析几何创立者。
参考答案B
解析在数学史上，一般认为法国数学家笛卡尔和同时代的法国业余数学家费马都是解析几何的创建者之一，两人应该分享这门学科创建的荣誉。
二、简答题
每题7分，共5题，共35分
9.
参考答案详见解析
解析
10.
高中数学新课程为什么要注重提高学生的数学思维能力？
参考答案详见解析
解析培养和发展学生的数学思维能力是发展智力、全面培养数学能力的主要途径。数学的产生和发展始于对具体问题或具体素材的观察、实验、归纳、类比等合情推理，但又不停留于观察、实验、归纳、类比等合情推理活动，而是在此基础上进一步通过比较、分析、综合、概括去揭示事物的本质，通过演绎推理得出数学结论。数学学习和研究从不满足于特殊情况的结果，而是通过归纳、类比等方法去探索、研究各种对象的一般规律，寻求解决问题的一般方法。数学学习和研究也从不满足于局部范围的统一，而是通过拓展原来的概念和理论去寻求更大范围的统一，发展和构建新的结果和理论。这种数学发展与数学学习的过程，形成了数学的特定思维方式。即首先对具体问题或具体素材进行考察，其次经过分析，找出事物的最简单的本质的出发点(基本概念、关系或公设)，再次寻求问题的一般解决方法，最后通过演绎(逻辑)推理形成严格的体系。因此，数学思维不仅有生动活泼的探究过程，其中包括想象、类比、联想、直觉、顿悟等方面，而且有严谨理性的证明过程，通过培养和发展学生的数学思维能力，能够发展学生的智力和培养学生的一般能力，能够培养学生辩证唯物主义世界观，培养学生实事求是、严谨认真、勇于创新等良好的个性品质。这对于人的身心发展，无疑将起重大作用。
数学思维能力有助于提高学生的生活质量和工作能力。例如，在讨论问题时，有较好数学思维能力的人希望明确讨论问题的前提，对这些前提大家要尽量一致，当讨论过程中需要修改前提时，也尽量达到基本--致，这样会提高讨论的效率。这是演绎思维能力(一般到特殊)的一种体现。又如，在遇到诸如产品质量检验等问题时，有较好数学思维能力的人会采用推断性统计方法，通过抽样，用样本的信息来推断总体。这是归纳思维能力(具体到一般)的一种体现。经
数学思维能力有助于提高学生的生活质量和工作能力。例如，在讨论问题时，有较好数学思维能力的人希望明确讨论问题的前提，对这些前提大家要尽量一致，当讨论过程中需要修改前提时，也尽量达到基本--致，这样会提高讨论的效率。这是演绎思维能力(一般到特殊)的一种体现。又如，在遇到诸如产品质量检验等问题时，有较好数学思维能力的人会采用推断性统计方法，通过抽样，用样本的信息来推断总体。这是归纳思维能力(具体到一般)的一种体现。经
11.
参考答案详见解析
解析
12.
数学概念的教学应该注意哪些问题？
参考答案详见解析
解析(1)注意具体问题情境的设计；
(2)应注意使学生熟悉概念的各种变式；
(3)在数学概念的教学中，要注意正例和反例的使用；
(4)数学概念的教学必须使学生能够应用概念的名称和符号，联系现实原型，对概念做事实的解释；抓住事物本质，对概念做辩证的分析；在实践中运用概念，在运用中巩固概念。
(2)应注意使学生熟悉概念的各种变式；
(3)在数学概念的教学中，要注意正例和反例的使用；
(4)数学概念的教学必须使学生能够应用概念的名称和符号，联系现实原型，对概念做事实的解释；抓住事物本质，对概念做辩证的分析；在实践中运用概念，在运用中巩固概念。
13.
参考答案详见解析
解析
三、解答题
每题10分，共1题，共10分
14.
定义：一般地，对于定义在区间D上的函数y=f(x)，①若存在x0∈D，使得f(x0)=x0，则称x0是函数Y=f(x)的一阶不动点，简称不动点；②若存在x0∈D，使f(f(x0))=x0，则称‰是函数y=f(x)的二阶不动点，简称稳定点。
(1)
(2)f(x)单调递增时，是否有N=M？证明你的结论。(3分)
(3)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，且f(x)没有不动点，问f(x)是否有稳定点？并证明你的结论。(4分)
(1)
(2)f(x)单调递增时，是否有N=M？证明你的结论。(3分)
(3)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，且f(x)没有不动点，问f(x)是否有稳定点？并证明你的结论。(4分)
参考答案详见解析
解析定义：一般地，对于定义在区间D上的函数y=
由①②可得，对任意x∈R，都有f(f(x))≠x，即函数f(x)没有稳定点。
由①②可得，对任意x∈R，都有f(f(x))≠x，即函数f(x)没有稳定点。
四、论述题
每题15分，共1题，共15分
15.
依据《普通高中数学课程标准》(实验)，数学教师应怎样帮助学生注重联系，提高对数学整体的认识？
参考答案详见解析
解析数学的发展既有内在的动力，也有外在的动力。在高中数学的教学中，要注重数学的不同分支和不同内容之间的联系，数学与日常生活的联系，数学与其他学科的联系。高中数学课程是以模块和专题的形式呈现的。因此，教学中应注意沟通各部分内容之间的联系，通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，进一步理解数学的本质，提高解决问题的能力。例如，教学中要注重函数、方程、不等式的联系，向量与三角恒等变形、向量与几何、向量与代数的联系，数与形的联系，算法思想在有关内容中的渗透、在不同内容中的应用等。此外，还要注意数学与其他学科及现实世界的联系。例如，教学中应重视向量与力、速度的联系，导数与现实世界中存在的变化率的联系等。
五、案例分析题
每题20分，共1题，共20分
16.
阅读下列两位教师有关“平面向量数量积的物理背景及其含义”的教学片段。
教师甲的教学情境引入：
师：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？
生：向量的加法、减法及数乘运算，这些运算的结果是向量。
师：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究这种运算的？
生：物理模型→概念→性质→运算律→应用。
师：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算。导入课题：平面向量数量积的物理背景及其含义。
教师乙的教学情境引入：
师：回忆物理中“功”的计算，它的大小与哪些量有关？
结合向量的学习你有什么想法？若一个物体在力的作用下产生的位移为S，那么力F所做的功W等于多少？
生：W=|F||S|cosθ(其中θ是F和S的夹角)。
师：功是矢量还是标量？它的大小由哪些量来确定？
显然功是标量，它由力和位移两个向量来确定。从中我们得到一个启发：能否将功看成是两个“向量相乘”的一种运算的结果呢？从而得出平面向量的“数量积”的概念。
问题：
(1)分析两位教师情境引入的特点；(10分)
(2)对此知识内容进行教学分析并给出它的知识结构。(10分)
教师甲的教学情境引入：
师：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？
生：向量的加法、减法及数乘运算，这些运算的结果是向量。
师：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究这种运算的？
生：物理模型→概念→性质→运算律→应用。
师：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算。导入课题：平面向量数量积的物理背景及其含义。
教师乙的教学情境引入：
师：回忆物理中“功”的计算，它的大小与哪些量有关？
结合向量的学习你有什么想法？若一个物体在力的作用下产生的位移为S，那么力F所做的功W等于多少？
生：W=|F||S|cosθ(其中θ是F和S的夹角)。
师：功是矢量还是标量？它的大小由哪些量来确定？
显然功是标量，它由力和位移两个向量来确定。从中我们得到一个启发：能否将功看成是两个“向量相乘”的一种运算的结果呢？从而得出平面向量的“数量积”的概念。
问题：
(1)分析两位教师情境引入的特点；(10分)
(2)对此知识内容进行教学分析并给出它的知识结构。(10分)
参考答案详见解析
解析(1)甲教师从物理的角度创设情境，以这种方式引入数量积概念能激发学生的学习兴趣，而且甲教师注重概念产生的背景及概念深化的过程，使学生认识了数量积的数学模型。通过问题形式引导学生自主探究数量积的性质及运算律，培养了学生类比、从特殊到一般的归纳概括能力。
平面向量的数量积与数的乘法既有区别又有联系。教材中以物体受力做功为背景，引出向量数量积的概念。乙教师在教学设计中，注重知识的发生和发展过程的展现，从数学和物理两个角度创设问题情境，以问题设计为导向，以知识为载体，引导学生积极思维，循循善诱，发展了学生的思维能力。
(2)教学内容分析：以物体受力做功为背景引入数量积的概念，使向量数量积运算与物理知识联系起来；探究向量数量积与向量的长度及夹角的关系；进一步探究两个向量的夹角对数量积符号的影响及有关的性质、几何意义和运算律。
知识结构：
平面向量的数量积与数的乘法既有区别又有联系。教材中以物体受力做功为背景，引出向量数量积的概念。乙教师在教学设计中，注重知识的发生和发展过程的展现，从数学和物理两个角度创设问题情境，以问题设计为导向，以知识为载体，引导学生积极思维，循循善诱，发展了学生的思维能力。
(2)教学内容分析：以物体受力做功为背景引入数量积的概念，使向量数量积运算与物理知识联系起来；探究向量数量积与向量的长度及夹角的关系；进一步探究两个向量的夹角对数量积符号的影响及有关的性质、几何意义和运算律。
知识结构：
六、教学设计题
每题30分，共1题，共30分
17.
以下是幂函数(高中必修一第二章基本初等函数幂函数)的教学片段：
教师首先出示5个具体问题：
(1)如果张红购买了每千克l元的蔬菜W千克，那么他需要支付P=W元，这里P是W的函数。
(2)如果正方形的边长是a，那么正方形的面积是S=a2，这里S是a的函数。
(3)如果正方形的边长是a，那么正方形的体积是V=a3，V是a的函数。
(4)如果一个正方形场地的面积是S，那么这个正方形的边长是a=S12
，a是S的函数。
(5)如果某人t秒内骑车行进lkm，那么他骑车的平均速度v=t-1km／s，这里v是t的函数。
请学生观察其中的函数式，并思考：以上问题中的函数具有什么样的共同特征？学生对这些函数进行观察和思考后会提出这些函数都具有y=xa的特点。
老师：我们将这种新的函数叫作幂函数，那么，如何进行语言定义呢？
学生：函数y=xa。叫作幂函数，其中x是自变量，a是常数。
接着教师给出几个具体的函数让学生辨析哪些是幂函数，哪些不是幂函数，为什么？
阅读以上材料，并回答一下问题：
(1)所给片段中对幂函数概念教学所采用的设计方法是什么？(3分)
(2)请对这种概念教学的设计方法进行描述。(7分)
(3)请用另外一种概念教学的方法对幂函数概念的教学过程进行简要设计。(20分)
教师首先出示5个具体问题：
(1)如果张红购买了每千克l元的蔬菜W千克，那么他需要支付P=W元，这里P是W的函数。
(2)如果正方形的边长是a，那么正方形的面积是S=a2，这里S是a的函数。
(3)如果正方形的边长是a，那么正方形的体积是V=a3，V是a的函数。
(4)如果一个正方形场地的面积是S，那么这个正方形的边长是a=S12
，a是S的函数。(5)如果某人t秒内骑车行进lkm，那么他骑车的平均速度v=t-1km／s，这里v是t的函数。
请学生观察其中的函数式，并思考：以上问题中的函数具有什么样的共同特征？学生对这些函数进行观察和思考后会提出这些函数都具有y=xa的特点。
老师：我们将这种新的函数叫作幂函数，那么，如何进行语言定义呢？
学生：函数y=xa。叫作幂函数，其中x是自变量，a是常数。
接着教师给出几个具体的函数让学生辨析哪些是幂函数，哪些不是幂函数，为什么？
阅读以上材料，并回答一下问题：
(1)所给片段中对幂函数概念教学所采用的设计方法是什么？(3分)
(2)请对这种概念教学的设计方法进行描述。(7分)
(3)请用另外一种概念教学的方法对幂函数概念的教学过程进行简要设计。(20分)
参考答案详见解析
解析(1)归纳法。
(2)所谓归纳推理，就是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫作归纳推理，归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理。
(3)前面我们学习了函数定义，研究了函数的一般性质，并且研究了指数函数和对数函数。函数这个大家庭有很多成员，如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等。它们在数学中都承担着各自的任务，每个成员又都有它们各自鲜活的个性。今天，我们利用研究指数函数、对数函数的研究方法，再来认识一位新成员，请大家看如下的问题：
请将下列问题中的y表示成x的函数：
①如果张红购买了每千克1元的水果x千克，那么他需要支付y=______元；
②如果正方形的边长为x，那么正方形的面积y=______；
③如果正方体的边长为x，那么正方体的体积y=______；
④如果一个正方形场地的面积为x，那么这个正方形场地的边长y=______；
⑤如果某人以xm／s的速度向蓄水池注入了体积为1立方米的水，那么他注水的时间y=______。
并板书，抽取这几个解析式结构上的共同特征，我们能够发现它们的右端都是幂的形式，并且底数都是自变量x，幂指数是常数，也就是说，它们可以写成y=xa的形式，这种形式的函数就是幂函数(板书课题：幂函数)
探究新知
幂函数的定义：一般地，形如y=xa(a∈R)的函数称为幂函数，其中a是常数。
自变量x是幂的底数，换句话说，幂的底数是自变量x，幂指数是个常数，幂的系数是1，符合上述形式的函数，就是幂函数。
请同学们举例说出一-个具体的幂函数。
从引例和同学们刚才举的例子中，我们可以发现，幂指数。可以是正数、负数、也可以是0，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数。
(2)所谓归纳推理，就是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫作归纳推理，归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理。
(3)前面我们学习了函数定义，研究了函数的一般性质，并且研究了指数函数和对数函数。函数这个大家庭有很多成员，如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等。它们在数学中都承担着各自的任务，每个成员又都有它们各自鲜活的个性。今天，我们利用研究指数函数、对数函数的研究方法，再来认识一位新成员，请大家看如下的问题：
请将下列问题中的y表示成x的函数：
①如果张红购买了每千克1元的水果x千克，那么他需要支付y=______元；
②如果正方形的边长为x，那么正方形的面积y=______；
③如果正方体的边长为x，那么正方体的体积y=______；
④如果一个正方形场地的面积为x，那么这个正方形场地的边长y=______；
⑤如果某人以xm／s的速度向蓄水池注入了体积为1立方米的水，那么他注水的时间y=______。
并板书，抽取这几个解析式结构上的共同特征，我们能够发现它们的右端都是幂的形式，并且底数都是自变量x，幂指数是常数，也就是说，它们可以写成y=xa的形式，这种形式的函数就是幂函数(板书课题：幂函数)
探究新知
幂函数的定义：一般地，形如y=xa(a∈R)的函数称为幂函数，其中a是常数。
自变量x是幂的底数，换句话说，幂的底数是自变量x，幂指数是个常数，幂的系数是1，符合上述形式的函数，就是幂函数。
请同学们举例说出一-个具体的幂函数。
从引例和同学们刚才举的例子中，我们可以发现，幂指数。可以是正数、负数、也可以是0，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数。