2015年下半年教师资格证《初中数学》试题（网友回忆版）

参考答案 B

解析：设曲面经矩阵A变化后为
化简可得
因此经矩阵变化后曲面的方程为
符合椭圆方程基本形式。因此答案选B。

参考答案 C

解析：取，，则，，0＜1，而a₁＝1＞b₁＝0，，即C项中，当n＝2时，a₂＝b₂，表述错误，当选。

参考答案 B

解析：由向量积的性质可得，B项，顺序错误，当选。

参考答案 D

参考答案 C

参考答案 A

解析：由已知可得，级数的收敛半径为
当x＝1时，级数发散；当x＝－1时，级数发散，即x≠±1。因此答案选A。

参考答案 D

参考答案 A

参考答案 以此光线与平面的交点为原点建立空间直角坐标系，如下图所示，<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/f2297b8601744051b427c378271bb9ac.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">则入射光线所在直线过原点且在yOz坐标面上，所以入射光线的直线方程为<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/618c40ffa99e4846ae396539dc38c1c8.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">而反射光线与入射光线关于z轴对称，所以反射光线的直线方程为<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/d8dd7cef58c84760ad92ca08ab68c04c.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">此时法线为z轴，因此，将反射光线绕平面镜的法线旋转一周即围绕z轴旋转一周，则所求旋转曲面的方程为将反射光线的直线方程中的y改成<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/384c78ce94ad4d4db3e7a387ae80049d.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，代入可得所求旋转曲面的方程为<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/ce992b3cf2ba4fee842e5eee7d8e7028.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">即<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/02b134a54b9f4e8dbbe65258b73652d5.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

参考答案 （1）当非齐次线性方程组<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/eb81892089dd4432a8c54672a690c020.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">有唯一解时，假设向量m＝（a，a′），n＝（b，b′）线性相关，则n＝km，即b＝ka，b′＝ka′，则原方程组可化为<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/b569ad5df2b54bf9acf5c3c06b6cb9d4.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">当<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/e1806961cf77446fb4b32e617d872f09.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">时，非齐次线性方程组有无穷多解，这与方程组有唯一解相矛盾；当<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/8f3c6c08a4c445c2aa338dc6cc05df8b.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">时，非齐次线性方程组无解，也与方程组有唯一解矛盾；所以m＝（a，a′），n＝（b，b′）线性无关。<br />（2）当向量m＝（a，a′），n＝（b，b′）线性无关时，<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/68e77e2755004334a6ba4c7f4eea11e4.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">可逆，则可得<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/7a52ef61065a431fa5eb56f0db77f60d.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">即<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/610ca130dcbe4749a85dd2707ee38e67.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">有唯一解。

参考答案 首先对题干进行分析，可以知道本题需分两步进行计算，即先选出含有喷绿色烟雾的飞机的概率，再选领飞的飞机是喷绿色烟雾的概率，最后将二者相乘即得。选出的飞机中有1架是喷绿色烟雾的飞机概率为<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/742fd80d03c745bd8c46b2a794dddfd8.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">选出的飞机中有2架是喷绿色烟雾的飞机概率为<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2d82a07742c54e049399c1ed6bc758e0.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">选出的飞机中有3架是喷绿色烟雾的飞机概率为<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/c436a65837194034affd8776f0e24b1f.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">。6架飞机中含有1架喷绿色烟雾的飞机时，所选到领飞的飞机为喷绿色烟雾的飞机的概率为<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/a9437a3baf054ea99713ccc7984dddb5.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">；6架飞机中含有2架喷绿色烟雾的飞机时，所选到领飞的飞机为喷绿色烟雾的飞机的概率为<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/fe04f7d6d9584883b03490231c0c9bd2.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">；6架飞机中含有3架喷绿色烟雾的飞机时，所选到领飞的飞机为喷绿色烟雾的飞机的概率为<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/9fa4da6748d44667b36d2278af6b9a50.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">。所以，最终所选的领队飞机为喷绿色烟雾的飞机的概率为<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/85afefcfe4af4fdbbae8a7059721b0e8.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

参考答案 数学课程内容是课程标准、单元目标和具体数学知识点三者的结合。在确定教学内容时，特别要注意以下三点：<br />（1）数学知识的主要特征。一个数学知识点的内容是极为庞杂的，我们应该选择该数学知识点最本质的东西作为教学的重点。<br />（2）学生的需要。确定具体数学知识点并不是由教材一个要素决定的，知识点的确定还涉及到学生认知发展阶段性的问题。因此也不可能是教材有什么我们就教什么、学什么，我们只能选择教材内容与学生认知发展相一致的内容作为教学内容。<br />（3）编者的意图。编者的意图主要是通过例题以及课后的练习题来体现的。数学例题以及课后练习题的重要性在数学课程中要远远高于其他学科，因为数学例题以及练习题是数学课程内容建设中一个不可或缺的组成部分。在其他课程中，练习题最多只是课程内容的重现，有的只属于教学领域，作为一种教学手段，对课程本身并没有很大影响。但是数学课却并不是这样，数学课“教什么”在相当程度上是由练习题或明或暗指示给教师的。

参考答案 数学是以现实世界的空间形式和数量关系作为研究对象的，其抽象性主要表现在以下几个方面：<br />（1）表现在对空间形式和数量关系这一特性的抽象，如运算律、空间几何的一些证明等。<br />（2）表现为思考事物的纯粹的量，广泛使用抽象符号，不仅数学概念是抽象的，而且数学方法也是抽象的，如空间几何图形位置关系的定义，数量间加减乘除方法的归类等。<br />（3）数学在抽象过程中较多地抛开了的事物的具体的特性，具有十分抽象的形式。并且，数学的抽象是逐级抽象的，下一次的抽象以前一次的抽象材料为具体背景，如数形结合得出函数单调性和奇偶性性质等。<br />（4）高度的抽象必然有高度的概括，表现为高度的概括性，并将具体过程符号化，当然，抽象必须要以具体为基础。<br />（5）数学语言具有高度的抽象性，因此数学阅读需要较强的逻辑思维能力。学会相关的数学术语和符号，正确依据数学原理分析逻辑关系，才能达到对书本的本真理解。同时数学有它的精确性，每个数学概念、符号、术语都有其精确的含义，没有含糊不清或者容易产生歧义的词汇，结论对错分明，因此数学阅读要求认真细致，同时必须勤思多想。

参考答案 （1）拉格朗日微分中值定理<br />如果函数f（x）满足：①在闭区间[a，b]上连续；②在开区间（a，b）内可导，则存在ζ∈（a，b），使<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/94dc8f8a4d924560b891fbc9f1f69abc.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">证明：已知f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，构造辅助函数<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/7a05274d87674fc59fefb4b8e2935c32.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">验证可得：g（a）＝g（b）＝0。又因为函数g（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/b0391b74fb9a4c0da49642219ebb219c.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">根据罗尔定理可知，在开区间（a，b）内，至少存在一点ζ，使得g′（ζ）＝0，也即<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/130526d1ca2e47be83e7946d4bd51ee1.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">由此可得：<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/fba7771c14e94840941da17dc1b266bb.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">（2）拉格朗日中值定理与中学数学内容的联系<br />拉格朗日中值定理是微积分学中一个重要的理论基础，是应用数学研究函数在区间上整体形态的有力工具。拉格朗日中值定理在中学数学中的应用十分广泛，如利用导数来研究函数的某些性质、证明不等式和方程根的存在性、描绘函数的图像、解决极值、最值等等。

参考答案 （1）数学的严谨性是指数学具有很强的逻辑性和较高的精确性，即逻辑的严格性和结论的确定性；量力性则是指学生的可接受性。“严谨性与量力性相结合”这一原则，说明了教学中的数学知识的逻辑严谨性与学生的可接受性之间相适应的关系，即理论知识的严谨程度要适合学生的一般知识结构与智力发展水平，并随着学生知识结构的不断完善，心理发展水平的不断提高，逐渐增强理论的严谨程度；反过来，又要通过恰当的理论严谨性逐渐促进学生的接受能力。<br />显然，这一原则是根据数学本身的特点以及学生心理发展的特点而提出的。但是，在学习过程中，学生心理的发展是逐步形成的，并非一蹴而就，在不同的年龄阶段，其感知、记忆、想象、思维、能力等心理因素的发展水平都有所不同。这种心理发展的渐变性决定了在教学中不可能对数学理论的研究达到完全严密的程度，而应该在不同的教学阶段，依据不同的教学目的和内容提出不同的严谨性要求，即数学教学的严谨性是相对的。<br />（2）在证明“<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/b26cf43a0f7d4672b09e1a4b92a64d1a.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">是无理数”的教学过程，对于严谨性要求，应设法安排使学生逐步适应的过程与机会，逐步提高其严谨程度，要求做到推理有据，证明要步步有根据、处处有逻辑。在推理有据的同时并不排斥直观和猜想，强调思维的严谨性，允许猜想，辩证地处理好推理的有据和猜想的关系。<br />由于学生对无理数还不熟悉，因此在实际教学过程中我们可以采用反证法，即先假设<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/95aaaae4e1204538b8a691ae437b8340.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">是有理数。在教学过程中，可以由教师给出证明步骤，让学生填每一步的理由，鼓励学生发扬“跳一跳够得到”的精神，逐步过渡到学生自己给出严格证明，最后要求达到立论有据，论证简明。“如果x是有理数，那么x可以写成最简分数<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/fbd2e6507e274f85a3977824d21888b7.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">（p、q是整数，p与q互质）的形式，于是<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/85501419acbe441fa10a3b3336a01e49.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">即p²＝2q²，由于2q²是偶数，由奇偶性可知，p也为偶数。不妨设p＝2a，则可得4a²＝2q²，即q²＝2a²，而2a²是偶数，同理可得q也应是偶数，这样p、q就都是偶数了，它们的公约数是2，与p、q互质相矛盾。因此，假设错误，即<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/95aaaae4e1204538b8a691ae437b8340.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">不是有理数，而是无理数。”<br />在教学过程中，不能一味消极适应学生，降低理论要求，必须在符合内容科学性的前提下，结合学生的实际情况组织教学。

参考答案 （1）在导入过程运用了温故知新的方法进行导入，优势是可以帮助学生复习已经学习过的知识，并且从学习过的知识当中找到前后联系，从而引出新课题，帮助学生快速进入课堂。<br />在新课教学过程中让学生通过动手操作，画出反比例函数的图像，但是在引导学生运用列表法的时候，所选的点都不够具有代表性，x轴不能都是整数，可以随机地选取一部分分数，为下边讲解函数图像是一条光滑的曲线做准备。另外，该教师在教学过程中利用了现代教学手段，即用计算机演示图像的生成过程，这是一种很好的教学方法，可以很直观地将函数图像生成的动态画面展示给学生，方便学生建立数形结合的意识。<br />（2）反比例函数的图像是光滑的曲线，而不是折线，这是反比例函数的图像区别于一次函数图像的最大特点。在引导学生思考所连的线不是直线，而是光滑曲线时，首先我会请学生分小组讨论这个问题。如果反函数的图像的点是用折线连起来会是什么图形，用曲线连起来又会是什么图形。给学生3分钟的时间进行讨论，在讨论的过程中我会给学生相关提示，我们选取的点是有限的，但是反比例函数的点却有无数个，为什么正多边形的边无限增多就变成了光滑的圆。讨论结束后由小组代表回答问题，鉴于这个问题有难度，在学生回答结束之后我会给予详细的讲反比例函数的图像可通过描点法画出。折线是由若干直线组合而成的，且直线必须对应一个一次函数，显然反比例函数不能对应到一次函数上，所以它不是折线，而是曲线。另外我们只是描了图像上少数的几个点，图像构架比较空，所以自然地认为应该用折线连接，如果多描几个点，多到密密麻麻的情况，就会明白其实这个和“正多边形边数越多越接近于圆，圆就是正多边形边数无限大时的情况”的道理是一样的。通过逐步引导，逐渐提升学生的思考能力。<br />（3）在此环节我将组织学生通过选取若干特殊点进行比较，独立思考曲线的变化情况，并鼓励学生大胆说出自己的想法，并给予鼓励，以达到锻炼学生从数学模型中抽象出数学结论的能力，使学生对于数学图像变化方面的相关知识得到初步的锻炼以及提升。

参考答案 （1）平行四边形性质的三维教学目标如下：<br />①知识与技能：知道平行四边形的概念，探索并证明平行四边形边、角的性质定理，发展分析推理思维能力。<br />②过程与方法：经历对平行四边形性质的探索过程，明确性质的条件和结论，并能运用相关性质解决实际问题。<br />③情感态度与价值观：在合作探究中体会解决问题的快乐，提高实践能力和合作交流能力。<br />（2）①流程一：<br />首先，引导学生以四人为一个学习小组，自主根据平行四边形的定义任意绘制平行四边形并观察。<br />其次，通过多媒体以问题串的形式呈现出以下问题：“除了两组对边分别相等，它的边之间还有什么关系？它的角之间有什么关系？量一量，检验一下与你的猜想一致吗？”让学生在组内进行讨论分析。<br />最后，在学生探究并讨论结束后，请一两个小组代表汇报本组的发现，汇报结束之后，教师适时予以引导，得出猜想：平行四边形对边、对角相等。<br />②流程二：<br />首先，通过多媒体呈现问题“小明同学用量角器量出平行四边形的一个内角是77°，就说知道了其余三个内角的度数；用直尺量出了一组邻边的长分刷为40cm和45cm，就说知道了这个平行四边形的周长。你知道小明同学是怎么计算的吗？”然后引导学生以学习小组的形式进行讨论和分析。<br />其次，在讨论结束后，请几个小组代表汇报本组的观点，由教师对观点进行总结和归纳，与学生一起得出猜想：平行四边形对边、对角相等。<br />（3）平行四边形性质证明的教学流程如下：<br />①首先，通过问题（2）中的任一流程得出平行四边形的性质猜想：平行四边形对边、对角相等。<br />②其次，教师口头提出任务“得出猜想后，能否用文字和符号语言将其证明出来？”并给予学生一定的时间，让其先不要看书中证明步骤，利用之前所学知识自主证明。此时，教师走到学生中间，在必要时予以点拨，比如添加辅助线、先证明两个三角形全等等内容。<br />③再次，教师请三个小组代表到黑板上进行板书，写出本组的证明过程，在教师与其他小组分别点评之后，一起总结归纳出平行四边形边、角的性质定理，即平行四边形的对边以及对角相等。然后教师再与学生一起对证明过程中所需要用到的转化思想（通过证明三角形全等来证明对边、对角相等）进行总结归纳。<br />④最后，再让学生将自己的证明过程与书中过程进行比对，不够合理之处予以修正。