2017年上半年教师资格证《初中数学》试题（网友回忆版）

（初中）数学历年真题共 17 题 3512 次浏览更新于 2026-09-28

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一、单项选择题

本大题共8小题，每小题5分，共40分

若

，则下列表述正确的是（　）。

A.∀r∈（0，a），∃N＞0，当n＞N时，有a_n＞r
B.∃r∈（0，a），∀N＞0，当n＞N时，有a_n＞r
C.∀r∈（0，a），∀N＞0，当n＞N时，有a_n＞r
D.∀N＞0，∃r∈（0，a），当n＞N时，有a_n＞r

下列矩阵所对应的线性变换为关于y＝－x的对称变换的是（　）。

空间直线L₁：

与L₂：

它们的位置关系是（　）。

A.L₁与L₂垂直
B.L₁与L₂相交，但不一定垂直
C.L₁与L₂为异面直线
D.L₁与L₂平行

设f（x）在[a，b]上连续且题目图片

，则下列表述正确的是（　）。

A.对任意x∈[a，b]，都有f（x）＝0
B.至少存在一个x∈[a，b]使f（x）＝0
C.对任意x∈[a，b]，都有f（x）≠0
D.不一定存在x∈[a，b]使f（x）＝0

设A和B为任意两个事件，且A⊂B，P（B）＞0，则下列选项中正确的是（　）。

A.P（B）＜P（A｜B）
B.P（A）≤P（A｜B）
C.P（B）＞P（A｜B）
D.P（A）≥P（A｜B）

设

，下列向量中为矩阵A的特征向量的是（　）。

A.（0，1）^T
B.（1，2）^T
C.（－1，1）^T
D.（1，0）^T

与意大利传教士利玛窦共同翻译了《几何原本》（Ⅰ-Ⅵ卷）的我国数学家是（　）。

A.徐光启
B.刘徽
C.祖冲之
D.杨辉

在角、等边三角形、矩形和双曲线四个图形中，既是轴对称又是中心对称的图形有（　）。

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

二、简答题

本大题共5小题，每小题7分，共35分。

已知抛物面方程2x²＋y²＝z。
（1）求抛物面上点M（1，1，3）处的切平面方程；（4分）
（2）当k为何值时，所求切平面与平面3x＋ky－4z＝0相互垂直。（3分）

已知向量组α₁＝（2，1，－2），α₂＝（1，1，0），α₃＝（t，2，2）线性相关。
（1）求t的值；（4分）
（2）求出向量组{α₁，α₂，α₃}的一个极大线性无关组。（3分）

有甲、乙两种品牌的某种饮料，其颜色、气味及味道都极为相似，将饮料放在外观相同的6个杯子中，每种品牌各3杯，作为试验样品。
（1）从6杯样品饮料中随机选取3杯作为一次试验，若所选饮料全部为甲种品牌，视为成功。独立进行5次试验，求3次成功的概率。（5分）
（2）某人声称他通过品尝饮料能够区分这两种品牌。现请他品尝试验样品中的6杯饮料进行品牌区分，作为一次试验，若区分完全正确，视为试验成功。他经过5次试验，有3次成功，可否由此推断此人具有品尝区分能力？说明理由。（2分）

《义务教育数学课程标准（2011年版）》用行为动词“了解”“理解”“掌握”“应用”等描述结果目标，请解释“了解等腰三角形的概念”的具体含义。

书面测验是考查学生课程目标达成状况的重要方式，以“有理数”一章为例。说明设计数学书面测验试卷应关注的主要问题。

三、解答题

本大题1小题，10分。

已知f（x）是在[a，b]上的连续函数，设题目图片

，x∈[a，b]，证明：
（1）F（x）在[a，b]上连续；（5分）
（2）F（x）在[a，b]上可导，且F′（x）＝f（x）。（5分）

四、论述题

本大题1小题，15分。

推理一般包括合情推理与演绎推理。
（1）请分别阐述合情推理与演绎推理的含义；（6分）
（2）举例说明合情推理与演绎推理在解决数学问题中的作用（6分），并阐述二者间的关系（3分）。

五、案例分析题

本大题1小题，20分，阅读案例，并回答问题。

案例：
为了帮助学生理解正方形的概念、性质，发展学生推理能力、几何直观能力等，一节习题课上，甲、乙两位教师各设计了一道典型例题。
【教师甲】
如图1，在边长为a的正方形ABCD中，E为AD边上一点（不同于A，D），连接CE，在该正方形边上选取点F，连接DF，使DF＝CE。请解答下面的问题：
（1）满足条件的线段DF有几条？
（2）根据（1）的结论，分别判断DF与CE的位置关系，并加以证明。
题目图片

图1【教师乙】
如图2，在边长为a的正方形ABCD中，E，F分别为AD，AB边上的点（点E，F均不与正方形顶点重合），且AE＝BF，CE，DF相交于点M。证明：
（1）DF＝CE；
（2）DF⊥CE。
题目图片

图2问题：
（1）分析两位教师例题设计的各自特点；（10分）
（2）直接写出教师甲的例题中两个问题的结论（不必证明）；（4分）
（3）结合两位教师设计的例题，你还能启发学生提出哪些数学问题？（请写出至少两个问题）（6分）。

六、教学设计题

本大题1小题，30分。

针对一元二次方程概念与解法的一节复习课，教学目标如下：
①进一步了解一元二次方程的概念；
②进一步理解一元二次方程的多种解法（配方法、公式法、因式分解法等）；
③会运用判别式判断一元二次方程根的情况；
④通过对相关问题的讨论，在理解相关知识的同时，体会数学思想方法，积累数学活动经验。
根据上述教学目标，完成下列任务：
（1）为了落实上述教学目标①②，请设计一个教学片段，并说明设计意图；（18分）
（2）配方法是解一元二次方程的通性通法，请设计问题串，以帮助学生进一步理解配方在解一元二次方程中的作用。（12分）

参考答案（1）教学片断及设计意图如下： 一、复习回顾 1.回顾一元二次方程与一元一次方程的区别及它们的共同点，并列出一些方程，与学生一起将方程分类 （1）x2＋5x－6＝0； （2）2x＋5＝1； （3）x＋y＋3＝0； （4）（3－x）2＋x2＝9； （5）（y＋2）（y－1）＝7； （6）4x＋1＝3x＋2。 要求： （1）引导学生观察回顾方程的特点； （2）通过对比复习一元一次方程定义和一元二次方程定义： （3）强调定义中体现的3个特征：①整式；②一元；③二次。 2.要求学生用最熟悉的方法解下列方程 （1）x2－121＝0；（2）x2＋3x＝0；（3）（x＋2）2＝4； （4）x2－3x＋2＝0；（5）2x2＋7x＝4；（6）x2＋2x－4＝0。 思考：（1）方程具备什么特点做起来最熟悉？（2）以上方程你选取了哪些方法？ 二、习题教学 例题1：方程<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/460acad2735e4f0c9ac6d7b597301372.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">是关于x的一元一次方程，m的值为（　）；若是关于x的一元二次方程，m的值为（　）。 师生活动：教师出示问题，学生独立思考、回答。为了帮助学生有逻辑的思考，可追问以下问题。 追问1：一元一次方程的一般式是什么？m需要满足什么条件？ 追问2：一元二次方程的一般式是什么？由此你能给出m需要满足的条件吗？ 追问3：我们还学过哪种整式方程？写出一般式，比较你所学过的各种整式的方程，说明它们的未知数个数与次数。 设计意图：学生要会辨析几种整式方程的概念，分析出符合定义的未知数的次数。通过此题引导学生进一步理解一元二次方程的概念及一般式，回顾已学的其他整式的方程，加强知识的前后联系，帮助学生建立有关方程的知识体系。 例题2：解方程x2－2x＋1＝25。你有哪些解法可以解此方程？你认为哪种解法最适合这样类型的方程。 师生活动：教师出示问题，学生独立思考、解答、展示。教师反馈并提出以下问题。 追问1：一元二次方程有哪些解法？他们在什么情况下最适用？ 追问2：这几种解法之间有何联系？在基本思想上有何共同点？ 设计意图：本题主要复习一元二次方程的解法，通过比较不同的解法，体会如何根据方程特点选择解法。方程左边可以写成完全平方式，所以可用配方法；也可将方程整理成一般式，用公式法；还可以用因式分解法。让学生深入思考这几种解法之间的联系，体会配方法的重要意义以及“降次”的基本思想。 （2）问题：解方程x2－120x＋3456＝0。 追问1：有的同学说可以通过十字相乘法分解，大家可以试试？你发现了什么？ 学生回答：3456数字太大，十字相乘法分解时，不能一次分解到位，尝试多次才成功；部分同学到时间结束还没能分解出正确的结果。 追问2：数字太大，需要试验多次，降低了我们的速度，还有其他的方法吗？ 学生回答：我们换其他的方法（有些同学选择用公式法，有些同学选择用配方法），在一种方法不能顺利地解决问题时，就应该使用其他方法尝试一下。 追问3：我们试验了十字相乘法、公式法、配方法，哪种方法最简单呢？ 学生回答：针对这个题目，用配方法最简单，十字相乘法在数字太大时分解太困难，公式法对于这个题目计算量也太大，配方法是最为简单、直观的。 追问4：配方法是不是适用于所有的一元二次方程呢？ 学生回答：我们之前讲过，解一元二次方程，首先要判断该方程是否有解，对于有解的一元二次方程全部都能用公式法进行求解。而公式法所用的公式，是由配方法经过推导得到的，故配方法也适用于全部有解的一元二次方程。 追问5：哪些情况下用配方法最为简单呢？ 学生回答：形如x2＋2ax＋b＝0（a，b为整数），这类的一元二次方程配方时最为简单，选择解法时可优先选择配方法。