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长沙市教育局直属单位教师招聘考试《中学数学》试题（网友回忆版）

学科专业知识·中学数学 / 历年真题　共 18 题　更新于 2026-09-27

一、单项选择题

下列每题的选项中，只有一项最符合题意。

1.
题目图片
  • A.题目图片
  • B.A≥B
  • C.A≤B
  • D.A=B

参考答案A

解析题目图片是一个点集，而集合B是一个数集，两个集合所包含的元素属性不同，所以题目图片
2.
将函数f（x）=ex的图像向左平移一个单位得到图像C1，再将图像C1向上平移一个单位得到C2，作出C2关于y=x的对称图像C3，则C3对应的函数解析式为（）。
  • A.题目图片
  • B.题目图片
  • C.题目图片
  • D.题目图片

参考答案B

解析题目图片所以C3对应的函数解析式为y=ln（x-1）-1。
3.
为使方程x2+（a+2i）x+3+ai=0（i是虚数单位）至少有一个实数根，则实数a的取值为（）。
  • A.a≥4
  • B.a≤-4
  • C.a≥4或a≤-4
  • D.题目图片

参考答案D

解析设x0是方程实根，即题目图片由复数相等的充题目图片
4.
若存在实数a，b使得mex-x≤0的解集为[a，b]，则m的取值范围是（）。
  • A.题目图片
  • B.题目图片
  • C.题目图片
  • D.题目图片

参考答案D

解析令f（x）=mex-x，则f'（x）=mex-1。当m≤0时，f'（x）<0，此时f（x）在定义域R上单调递减，不
题目图片
5.
已知定义在R上的函数f（x）是周期为3的奇函数，当x∈（0，3/2）时，f（x）=sinπx，则函数f（x）在区间[0，5]上的零点个数为多少？
  • A.4
  • B.5
  • C.6
  • D.7

参考答案C

解析∵当x∈（0，3/2）时，f（x）=sinπx∴令f（x）=0即sinπx=0则x=0或1∴当x∈（0，3/2）时，零点为x=0或1又∵f（x）是定义在R上且以3为周期的奇函数则f（-1）=f（2）=f（5）=0f（0）=f（3）=0f（1）=f（4）=0即函数f（x）在区间[0，5]上的零点个数为6个分别为：x=0，1，2，3，4，5，
6.
由x=e，y=2x及曲线题目图片所围成的封闭图形的面积为（）。
  • A.题目图片
  • B.e2-3
  • C.3
  • D.e

参考答案B

解析
题目图片
题目图片
7.
点F为双曲线题目图片的焦点，过点F的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点A，与另一条渐近线交于点B，题目图片则双曲线的离心率是（）。
  • A.题目图片
  • B.题目图片
  • C.题目图片
  • D.题目图片

参考答案A

解析
题目图片
题目图片
8.
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6，E是AB的中点，点P是面BB1C1C上的一动点，其满足∠DPC=∠EPB，则三棱锥P-ABC体积的最大值为（）。
  • A.36
  • B.题目图片
  • C.24
  • D.题目图片

参考答案B

解析
题目图片
题目图片
9.
对方程4x|x|+9y|y|+36=0，有如下叙述：①x与y具有函数关系，②x+y≤0，③当x≥0
时，y≤-2，④y可能随x的增大而增大，⑤点（x，y）不会在第一象限，其中论断错误的个数是（）。
  • A.4
  • B.3
  • C.2
  • D.1

参考答案C

解析
题目图片
题目图片
10.
如图是一个算法的程序框图，若此程序运行结果为S=3，则在判断框中应填入关于i的判断条件是（）。
题目图片
  • A.i≤7
  • B.i≤8
  • C.i≤9
  • D.i≤10

参考答案C

解析
题目图片

二、填空题

-

11.
在△ABC中，若2sinA+cosB=2，题目图片，则∠C的大小应为_________。

参考答案<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/d708dad2f6c64797bf399c761679ef41.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析对2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=题目图片两边分别平方后两式相加，化简得，2（sinAcosB+cosAsinB）=1，整理得sin（A+B）=题目图片，所以sinC=sin（π-C）=sin（A+B）=题目图片，题目图片则A+B=题目图片，cosB<1，2sinA<1，与2sinA+cosB=2矛盾。题目图片
12.
已知实数x，y满足不等式组题目图片则z=x+2y的取值范围为_________。

参考答案[<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/8d7374415f804a3288992c4bf3cc23cf.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，5]。

解析
题目图片
题目图片
13.
在Rt△ABC中，已知D为斜边AB上的中点，点P在线段CD上，且满足|CP|=|PD|，则题目图片

参考答案10

解析
题目图片
题目图片

三、计算题

-

14.
某项闯关挑战赛设有A，B两个关卡，A，B关卡依次进行，只有闯过关卡A，才能进入关卡B，A，B关卡均有2次挑战机会，现有人参与挑战，其顺利通过关卡A的概率是题目图片，其顺利通过关卡B的概率是题目图片，假设各次挑战互不影响。
（1）求其顺利闯关的概率；（2分）
（2）假设其不放过每次机会，记参加挑战的次数为题目图片，求题目图片的数学期望题目图片（5分）

参考答案（1）用Ai表示选手第i次成功挑战关卡A，鼠表示选手第i次成功挑战关卡B，i=1或2。选手成功挑战A关<br /><img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/59c25f1e07c1454e97023a3cc72f07f4.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"><br /><img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/ea5967dbed4d48f78d65eef0cc704e33.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"><br />（2）<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/3f1f81c62dee4d64a67e95e8ac276967.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，即选手两个关卡都一次挑战成功，或挑战两次A关卡都没有成功，所以<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/f8a8e5cc8eb346209f627fb31c674260.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"><img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/8d62c71b098e4d8fafb42952de6e7366.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"><img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/eacbc5618b57441e801d6fc4d243bbb9.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，即选手挑战关卡A第一次失败第二次成功，继续挑战关卡B一次成功，或挑战关卡A一次成功，接着挑战关卡B第一次不成功，继续挑战第二次。所以<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/2178c2ae227442868ef6dee5a04f6efa.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"><img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/3af36c9b9f264692a4f2dee0a6110eba.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，即选手挑战关卡A第一次失败第二次成功，接着挑战关卡B一次失败，继续挑战第二次，所以<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/dd21ec1a1b3f4d31925b2383ded6bc6d.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"><img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/527fb4bb8117473dab090e70541efc8a.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">所以ξ的分布列为<br /><img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/42fad3be522e481e86bd0438a600e7fd.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"><br /><img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/bc43351ed6734774a5072696a9bbb802.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析
15.
已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，
E，F分别是线段AB，BC的中点，G为PA上的点，且PG=3GA。
题目图片
（1）证明：PF⊥FD；（3分）
（2）证明：EG∥平面PDF；（3分）
（3）若PA=1，求二面角A-PD-F的余弦值。（4分）

参考答案几何法：（1）连接AF，在底面ABCD中，AB=BF=CF=CD=1，则∠AFB=∠DFC=45°，∠AFD=90°，所以FD⊥AF。又PA⊥平面ABCD，<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/ee8f78fdefc04245a0b2f599cf39b472.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，所以FD⊥PA。所以FD⊥面PAF，进而证得FD⊥PF。<br />（2）如图1，取FD的中点H，连接EH，过G作GK∥AD交PD于K，连接HK。则EH是梯形ABFD的中位线，EH∥AD.且<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/ef1c3c48c5204e8e84ae446c818dd699.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">。又PG=3GA，所以<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/cd71616a7d3a456cb54789be7f8b0d57.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"><img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/250e85baf2454cea833098d36123fca6.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">四边形EHKG是平行四边.所以EG∥HK，<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/91b94146b3234d10a367c26dbd003d4b.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">所以EG∥平面PDF。<br /><img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/530779807e5f4f9f8314ce37300314b5.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"><br />（3）如图2，取AD的中点M，连接FM，则FM⊥面PAD，且△FPD在面PAD上的投影为△MPD。设二面角<br /><img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/45c8d97c123c401a841880e8d8c15572.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"><br />坐标法：（1）根据题意，建立如图3所示坐标系，<br /><img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/9cdc396af8114a2398395bde25c51513.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"><br /><img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/933cf517478343058804bbbe567742b1.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"><br />（2）<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/816b1d9c9f244a9e9ab8960986097821.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"><br />（3）<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/067fb105a8534f77b832d02c11a92c41.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析
16.
题目图片
（1）求数列{an}的通项公式；（4分）
（2）题目图片N*）。（6分）

参考答案<br />（1）<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/60e9bfa76d40408f97684afeb386652d.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"><br /><img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/a114a8eccb044dc8ba68de2bc5178850.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"><br />（2）<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/4f11bf5baa8d407685205ec8c5dd7d5b.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"><br /><img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/ace29cc0f2af48a885b9f0fee86c22c2.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析
17.
已知函数题目图片
（1）求函数f（x）的单调区间；（4分）
（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≤3x2+2ax+3恒成立，求实数a的取值范围。（5分）

参考答案<br />（1）<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/a2ab0983f8ab4d29b2a483624ea89446.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"><br /><img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/25ddd0308c9040b7931fbaef83f607ed.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"><br />（2）<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/8e537b7017b9434ea97ea7bd5ec4c3a0.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析
18.
已知抛物线C：y2=4x的焦点F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，过点K（-1，O）与点A的直线l′与抛物线C相交于另一点D。
题目图片
（1）求证：B，D关于x轴对称；（6分）
（2）若作AB的垂直平分线与抛物线C交于M，N两点，以MN为直径的圆恰好经过A，B两点，求直线l的方程。（7分）

参考答案（1）由题意知焦点F（1，O），K（-1，0）。设A（xA，yA），B（xB，yB），D（xD，yD）。由题意可知，直线l，l'和坐标轴不垂<br /><img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/301cc96b3d5944fe9a5a6ebdc0d9da88.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"><br /><img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/31951063ef1d429795a57e452ce8a77e.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"><br />（2）<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/6a326863206e4e8cbbd717c22fabd243.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"><br /><img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/a050775b587c48c68a9ee8032dd5bc2d.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"><br /><img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/006b4dbb9fca42d994d394c15a8a5e6c.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">