军队院校招生文化科目统考士兵高中《数学》试题（网友回忆版）三

士兵高中-数学历年真题共 35 题 324 次浏览更新于 2026-09-26

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一、不等式与方程

-

1

求解不等式

[2014年士兵高中数学第三大题第2小题]

2

解不等式x＋|2x－1|＜3.[2013年士兵高中数学第三大题第1小题]

3

解方程：

.[2012年士兵高中数学第三大题第1小题]

4

若函数

，求不等式

的解集.[2011年士兵高中数学第三大题第1小题]

5

解方程：

[2010年士兵高中数学第三大题第1小题]

二、三角函数

-

6

在

中，三内角分别为A，B，C，其对应的三边a，b，c满足题目图片

（1）求A；
（2）若a＝6，求题目图片

面积的最大值.[2014年士兵高中数学第三大题第1小题]

参考答案（1）因为 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/c5bcacef67864857a4564c4a60206713.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 由正弦定理得 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/8c36a14e23c94392be837c31a4ca3182.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 而 sin（A＋B）＝sinC 所以 sin（A－B）＝sinB＋sin（A＋B） 即 sinAcosB－cosAsinB＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB 则 －2cosAsinB＝sinB，而sinB≠0 所以 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/c9ca9743cc8e4e6db532a8cb118c0d1b.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> A＝120° （2）由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos120° 则 b2＋c2＋bc＝36 又b2＋c2≥2bc当b＝c时等号成立， 所以 b2＋c2＋bc≥3bc 即 36≥3bc 所以 bc≤12 则 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/697d86f70ad841d2854217cb33f8bd5d.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 所以 当b＝c时，<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/9c9bc46adabf4af5a39ab52a74b570d4.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">面积取得最大值<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/2a91258aad074e41af23927743326ef7.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析：

7

在

中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程题目图片

的两根，2cos（A＋B）＝1.
（1）求角Ｃ的度数；
（2）求AB的长度；
（3）求题目图片

的面积.[2013年士兵高中数学第三大题第2小题]

8

设

（1）求f（x）的最大值及最小正周期；
（2）若锐角α满足题目图片

，求

的值.[2012年士兵高中数学第三大题第2小题]

9

在

中，

（1）求AB的值；
（2）求题目图片

的值.[2011年士兵高中数学第三大题第2小题]

10

在

中，

，求A，B及b，c.[2010年士兵高中数学第三大题第2小题]

参考答案由 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/5227f01f7dca4bca89261622e5a0be37.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 得 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/d6a0fe359fa2403bb32f9313f48adc87.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/baf895efffc8443087e490a8a2f865d7.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 又<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/fb67ff6499d64a89880f73621f3c1d06.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 由已知条件2sinBcosC＝sinA可知cosC＞0，所以 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/320fbc4eed5b4031b56c4b6a6cb1b2d8.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 于是有 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/5b13c66ebf3045a7b534423eeb90a2f0.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 此时得到 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/a1e359d9b5cc484abc5cc4a25417778e.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/282c017609574f90bed238e2a88c2f0c.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 化简得 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/b92014f7b70b494eb479336bf8a2fa8a.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 所以 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/5fc1a420aa864a5d9b0daec650f4c1d4.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 据正弦定理 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/bc265540ef3241ffb128139aa764bccf.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 综上得 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/9ee8b0d709c74a3d9f51bf91b0fe15c7.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

三、数　列

-

11

已知等差数列

的前n项和为S_n，且a₂＝3，S₆＝36.
（1）求数列题目图片

的通项公式；
（2）若数列题目图片

为等比数列，且b₁＋b₂＝3，b₄＋b₅＝24，设题目图片

的前n项和为T_n，求T_n.[2014年士兵高中数学第四大题]

12

成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列题目图片

的b₃、b₄、b₅.
（1）求数列题目图片

的通项公式；
（2）设数列题目图片

的前n项和为S_n，求证：数列题目图片

是等比数列.[2013年士兵高中数学第四大题]

参考答案（1）设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d，其中d为公差，则有 （a－d）＋a＋（a＋d）＝15 即得 a＝5 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/54774d98b8564bcf859d803c521e9f85.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/ea272b4f0a454be9ac65b36b4ea3e130.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 解得 d＝2或d＝－13（舍） <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/fac302f063684e928ca4a7fa3b9a08c2.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，公比q＝2. <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/b8433dcebb3248ab87052db2297b5b39.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> （2）由（1）知<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/fa88523d472244b99e66ff45c7a31519.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，当n≥2时 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/2f440645e2d9427b969c41d8cca20855.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 即 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/a5458b6784c941d682d9b1e9f69711f3.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 又 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/7091d00047314d24b16f8b7c889bf77d.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 所以 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/1078043e010f407f993fe9873bdc019a.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 对于n∈N＋成立.因为 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/a418b7cc65a241cab2db14f0ce122aac.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> ∴数列<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/49f1874e98964586b60c2d45416d17a8.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">是首项为<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/37f9394baca14d2e98292179ef66204b.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，公比为2的等比数列.

解析：

13

已知数列

是首项a₁＞1，公比q＞0的等比数列，设题目图片

，
且

（1）求数列

的通项公式；
（2）设题目图片

的前n项和为S_n，当题目图片

最大时，求n的值.[2012年士兵高中数学第四大题]

参考答案（1）据题设 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/bc7fd3cfd2e945e6bb051440175a94c0.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 又 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/7beeb00eb69347d6a7928dfcf28a353c.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/86aa848d1e8540238321feba490fce04.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">为等差数列，b1＝log2a1＞0（∵a1＞1）。 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/72524bebf5b34690910d2155257d18b3.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/78a1d1afc6bc4b61829389770fd1de3a.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/0414a6bb4e20435ea9899e0163ee3b7f.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> （2）因为 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/0a9d39b179e24c808c61fcb7535eee8e.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 所以 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/97c6bde7d5a54874bd6a7ced8a7117fe.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 记 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/51c005609458492e87f32e4106a81bb0.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 如果n∈R，则当且仅当<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/df323c8e4115411288191b0a123ec294.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">时，Tn最大，但是<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/1157c94c02934431ac1595e1386e0529.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，所以n＝8或9

解析：

14

已知各项均为正数的数列题目图片

中，a₁＝1，S_n是数列题目图片

的前n项和，对任意

，

.
（1）求常数p的值；
（2）求数列题目图片

的通项公式；
（3）记题目图片

，求数列

的前n项和T_n.[2011年士兵高中数学第四大题]

参考答案（1）<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/d2a1896642d14fd6934d9057ad07c51d.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> （2）<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/6d9e74bc32aa48e68eb27f45c5c88391.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">， <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/b4605f4f99f642ae89202bf40e17fc4d.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/b448eab5d5cc4fb9a4fa13f264399419.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> ∵数列<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/df3d942237a642dda237d0467fd631a0.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">各项均为正数， <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/0de4f8ba68d44f26a11d8059635e7050.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> ∴数列<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/0e637843ce0e4f648e457a73af2afc30.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">是以1为首项，<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/061eec7a24394bcca533a4e78c416932.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">为公差的等差数列，所以，数列<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/78be27ce8bfe42c2a84037c154d2e31b.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">的通项公式为 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/3baffdf97b604c6aad7d7288d9669b67.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> （3）<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/bc63b97d2d614313a26a792d4df3c506.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">， 所以 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/d259fe7fed49454286e58fbfd4a6474d.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> ① 则 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/e2626ff351374f7aa061c5a698771861.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> ② 由①－②得 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/a2390b8639cc41119f8a5b12f2ebb8f0.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/f25d173a6e9345198dc9bc6d196081ae.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析：

15

数列

满足：

（1）求a₃，a₄；
（2）求数列题目图片

的通项公式.[2010年士兵高中数学第四大题]

参考答案（1）据题设，易得 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/5de21c849220459e80d3e537394eb575.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> （2）当<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/1693168ea89341c4b4e6cccdea0862c0.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">时 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/ceb3959024c54874b170c1655a56b31e.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 所以<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/8bcbb9fa9a8a416aaa1c173c4958fcba.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">是等差数列，公差1，首项<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/05490fbe92ef438bb96c1df52102684d.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 令n＝2k－1得 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/fb13de8853b44b418a79f031bdfd15ce.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 当<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/6b0597a1abd040549dfa35bb4c73bd68.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">时 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/e0caa49c1fc44722ade1080c97063c10.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 所以<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/5a9c1a659e6142318032b4bf3d8b93f5.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">是等比数列，公比为2，首项<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/fa6b9adfc4ec4fef8ecd09054e72f45f.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">. 令n＝2k得 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/4d9c51886f334e19a7cfafde062b725e.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 综上，数列<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/001439354ee645dfb35addcd5348e9b3.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">的通项公式为 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/0e3152dbde334fa98c0504ccc617b788.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

四、概率与统计

-

16

计算机考试分理论考试与实际操作考试两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”并颁发“合格证书”，甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为题目图片

，在实际操作考试中“合格”的概率依次为题目图片

，所有考试是否合格相互之间没有影响.
（1）假设甲、乙、丙3人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得“合格证书”的可能性大；
（2）求这3人进行理论与实际操作两项考试后，恰有2人获得“合格证书”的概率；
（3）用X表示甲、乙、丙3人在理论考试中合格的人数，求X的分布列和数学期强EX.[2014年士兵高中数学第五大题]

参考答案（1）由于考试是否合格相互独立，所以甲获得“合格证书”必须两部分考试均合格，其概率为 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/fce1a8afcc2949f196f09d4f7bc6ecb1.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 同理，乙获得“合格证书”概率为 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/4db349f8e010417a9c6884b5d77d3d5c.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 丙获得“合格证书”概率为 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/616a14bbb09447ddbdc2b392e507bda0.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 因为 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/4c743c1594f14dbd80ce413b761e1d1a.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 所以 丙获得“合格证书”的可能性大. （2）用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙获得“合格证书”，恰有2人获得“合格证书”可表示为<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/3f787292c5cb41328175019d59f51783.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">.其概率为 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/d786efbe852f46b180a5858b57148873.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> （3）根据（2）的分析可知，X的可能取值为0，1，2，3，且 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/cc9acd648f1d48c2b08076bdd2ae203f.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/5786447dd0074ceb97650ec2132f7473.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/9ca89637dc14457f9cbed38a8a476118.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/fde30996f34943dca770d3ba9feb3eb5.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> X的分布列为 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/c476856653a9462dbf18258074ba26ed.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">X的数学期望为<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/d985d5a7abe1449c858f8e44821224c1.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析：

17

有一种舞台灯，外形是正六棱柱ABCDEF—A₁B₁C₁D₁E₁F₁，在每一个侧面上（不在棱上）安装5只颜色各异的彩灯，假如每只灯正常发光的概率是0.5，若一个面上至少有3只灯发光，则不需要维修，否则需要更换这个面，假定更换一个面需要100元，用题目图片

表示维修时所更换的面数.
（1）求面ABB₁A₁需要维修的概率；
（2）写出题目图片

的分布列及

；
（3）求出维修的平均费用.[2013年士兵高中数学第五大题]

参考答案（1）面ABB1A1需要维修，则此面上至多有2只灯发光，由于每只灯发光的概率都是0.5，所以能发光的灯的个数符合二项分布，故所求概率为 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/ddacbe0bbb8744db8fc2f99fa5323f47.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> （2）由于每个面需要维修的概率是相同的，都是<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/aa163753bdae4cfc912f3163cdcab623.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，所以需要维修的面数符合二项分布<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/764ff947421c433aaadd2a59dc4e9750.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/7f773215b33548bba26b931e45650d87.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">的分布列为 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/dcb2bc407a364394bf9f5ce1cc7bf922.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"><img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/ab17eabb01f94961b092271a3da9ee37.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> （3）更换一个面需要100元，则维修的平均费用为 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/fc3fd6c95cf34b55b29a32156c1c233c.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">（元）

解析：

18

将编号为1、2、3、4的贺卡随意地送给编号为1、2、3、4的四位老师，要求每师都得到一张贺卡，记与贺卡编号相同的老师的个数为题目图片

.
（1）求随机变量题目图片

的概率分布；
（2）求题目图片

的数学期望.[2012年士兵高中数学第五大题]

参考答案（1）设老师编号与贺卡编号相同的个数为<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/7f773215b33548bba26b931e45650d87.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，则 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/d8424b7c91cc4e53b022f22e3bf8d1d6.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 当1号贺卡送给2号老师时，则2号贺卡有3种送法，当2号贺卡送完以后，为了使编号不同，3、4号贺卡的送法是唯一的.由于1号贺卡的送法有3种，所以满足贺卡编号与老师的编号全不相同的送法有3×3＝9种.4张贺卡随意地送给4位老师，包含的基本事件总数为<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/a504e7884c6f4567b95c3baf07ee62f4.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">.事件<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/c28ed653b5f141caba118f2960dc6e5c.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">包含的基本事件总数为9，从而有<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/a5e8be4b4d3743769d8220896c6cd287.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">.同理可得<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/41e4bbbfc3974071beceae26ab92cc15.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> ∴随机变量<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/69294d6e2391462798c1c6a60c3e1f2a.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">的分布列为 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/2219c939e41a4ee1af87d4ae740225f7.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">（2）<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/69294d6e2391462798c1c6a60c3e1f2a.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">的数学期望为<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/f3b693f152ba4fdea63d09c9f2ddd61a.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析：

19

袋中有大小、形状及重量都相同的红、黑球各一个，现在有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球.
（1）试问：一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果；
（2）若摸到红球得2分，摸到黑球得1分，求3次摸球所得总分为5分的概率.[2011年士兵高中数学第五大题]

20

甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是题目图片

，且面试是否合格互不影响.求：
（1）至少有一人面试合格的概率；
（2）签约人数题目图片

的分布列和数学期望.[2010年士兵高中数学第五大题]

参考答案设A表示事件甲面试合格，则 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/cf9fd2b576c2489693b3bd859c63d178.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 设B表示事件乙面试合格，则 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/f24a3fcedf6e4d41823078d6a694981a.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 设C表示事件丙面试合格，则 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/aa49901d496d4d7aab8a85b39b1e9ba6.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> （1）至少有一人面试合格的概率为 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/315e7bf368b04e428a1d10f0a0e35412.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> （2）签约人数<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/89e675108ad045a19bf1a1d9973d5382.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">的可能取值为0，1，2，3. <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/a44533cc14cc4399a65bc0938a9024e8.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"><img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/3485f7ff72e9433a9f514d1c3bb85030.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">， <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/e4d7e243df6f4f5eae9f96ade5fe4571.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/fb30925a51cd472990eb45b92e377756.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 所以<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/cef48e415e3a470eb2c8dda32f359c49.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">的分布列是 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/bb90d086b87d46238dda3c425dda92bf.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"><img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/69294d6e2391462798c1c6a60c3e1f2a.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">的数学期望为<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/c816315a98914bb8bced36508d383b5e.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

五、导　数

-

21

已知函数f（x）＝ax³－bx²＋9x＋2，若f（x）在x＝1处切线方程为3x＋y－6＝0.
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对任意题目图片

，都有f（x）≥t²－2t－1成立，求函数g（t）＝t²＋t－2的最值.[2014年士兵高中数学第六大题]

参考答案（1）f（x）的导函数为 f'（x）＝3ax2－bx＋9 直线3x＋y－6＝0斜率为－3， 所以有 f'（1）＝3a－26＋9＝3 （1） x＝1代入3x＋y－6＝0得 y＝3 所以 f（1）＝3 即 a－b＋11＝3 （2） 解（1）（2）得 a＝4，b＝12 所以 f（x）＝4x3－12x2＋9x＋2 （2）f（x）＝4x3－12x2＋9x＋2，f'（x）＝12x2－24x＋9＝3（2x－1）（2x－3），在<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/75d93e142d1a4f738d82df2b0f703e54.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">范围内，<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/61100c7ce063405c917126b32abe2610.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">为极大值点，<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/77021d016a614ba78db4292b917bf917.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">为极小值点，函数最小值在<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/497c0f1cc517453bb794ce2820bf5c47.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">中一个点取得<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/a10e83e823ee41258bb35ed49094335d.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 所以，f（x）最小值为2，则2≥t2－2t－1恒成立，解得－1≤t≤3. 函数g（t）＝t2＋t－2对称轴为t＝<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/739c4ed0cf634eecb2575811a1388bf5.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，则函数g（t）＝t2＋t－2的最大值为 g（3）＝10 最小值为<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/1ccf5f9241144029b7075c90a858d692.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析：

22

已知函数f（x）＝x²＋bx＋c为偶函数，曲线y＝f（x）过点（2，5），g（x）＝（x＋a）f（x）。
（1）若曲线Y＝g（x）有斜率为0的切线，求实数a的取值范围；
（2）若当z＝－1时，函数y＝g（x）取得极值，确定y＝g（x）的单调性.[2013年士兵高中数学第六大题]

参考答案（1）因为f（x）＝x2＋bx＋c为偶函数，故其对称轴为y轴，所以b＝0，将点（2，5）代入函数y＝f（x）得22＋c＝5，解得c＝1，所以 g（x）＝（x＋a）（x2＋1） 求导函数为 g'（x）＝（x2＋1）＋（x＋a）2x＝3x2＋2ax＋1 由题意曲线y＝g（x）有斜率为0的切线.则g'（x）＝0有解，故3x2＋2ax＋1＝0的判别式非负，即 4a2－4×3＝4a2－12≥0 得a的取值范围为 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/0dcea58be2e740168d1c51b5f6ad03bc.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> （2）据题意x＝－1时，函数y＝g（x）取得极值，则－1为方程3x2＋2ax＋1＝0的一个根，则a＝2，于是3x2＋2ax＋1＝3x2＋4x＋1＝（x＋1）（3x＋1）。 令g'（x）＝（x＋1）（3x＋1）＞0得x＜－1或<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/5c015692892b48f2bb3b39ff8c6d69f6.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 令g'（x）＝（x＋1）（3x＋1）＜0得<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/834d5597795844469d76efc5bd8086f0.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 所以y＝g（x）的增区间是（﹣∞，﹣1），<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/e1c1ba482d1b4ddb8704671abbd5f674.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">；减区间是<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/1b04da0226eb41c78632187ce8ad1f6c.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">.

解析：

23

已知函数

（1）求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（2）证明：在区间（1，＋∞）上，函数f（x）的图象在函数题目图片

的图象的下方.[2012年士兵高中数学第六大题]

参考答案（1）<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/2194843ee8494cecbe23d841d4804841.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">的定义域为（0，＋∞），求其导函数为 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/c4bf196af5fc4f30bb669909c4fce6d0.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 即f（x）在[1，e]单调增，f（x）在[1，e]上最大值是 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/f32663cfecd94a1bb00d98de7040d31e.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 最小值是 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/41f4d74d72104402af38386797ecda78.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> （2）要证明在（1，＋∞）上，f（x）在<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/68322bc04ee746cba61ef8e0f859222b.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">的图象下方，即证明f（x）＜g（x）对任意的x∈（1，＋∞）恒成立，也就是<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/8a5916ac174940559a553406f0ffabfd.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">对任意的x∈（1，＋∞）恒成立，即<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/489cfc758b9a4e208792233e5d3c398d.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">对任意的x∈（1，＋∞）恒成立. 令<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/a2a7167b98c945199a19ffed5202bdf1.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，则其导函数为 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/1de42b3ed5d0464d91dd69d2829d9078.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> ∵x∈（1，＋∞），∴x＞0，1－x＜0，2x2＋x＋1＞0，∴h'（x）＜0，∴h（x）在（1，＋∞）单减，所以<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/032d80a2d83e41a5b6cb20d49edb480d.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">对任意的x∈（1，＋∞）恒成立，故原命题得证.

解析：

24

设函数

.
（1）若对于任意实数x，f'（x）≥m恒成立，求m的最大值；
（2）若方程，f'（x）＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围.[2011年士兵高中数学第六大题]

参考答案（1）对函数求导，得到导函数为 f'（x）＝3x2－9x＋6 据题设3x2－9x＋6≥m对于任意x∈R恒成立. 又因3x2－9x＋6的最小值为<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/db5e825efc334d91ac384d807e67ccbf.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，所以<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/ea3dffd50fc547d9ae5a8283a82c5262.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，即m的最大值为<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/8e241d3d85f84ed6b411e13503e56a34.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">. （2）因为 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/9e139714682540f3a623fd3fb6fdca16.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 则有 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/8d055003f56a4751b04add56630c83c1.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">当x＝1时f（x）取得极大值<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/37aa3c8d0834432fb39b1c3451ac6b48.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">； 当x＝2时,f（x）取得极小值2－a.则函数大致图象如图8所示： <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/7a84da842e6a492aaf52b42b1a2dbb25.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">图8 若方程f（x）＝0有且仅有一个实根，只需满足 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/0e64db9bc7724a2e9afba962b4255eac.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">或2－a＞0 解得 a＜2或<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/9f079af145274e81af9e966940a85567.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 即a的取值范围是 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/d3e8b7c657654bfa9989b89a5be51af2.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析：

25

已知a是实数，函数

.
（1）求函数f（x）的单调区间，说明f（x）在定义域上有最小值；
（2）设m（a）为，f（x）在定义域上的最小值，写出m（a）的表达式；
（3）当a＝10时，求出题目图片

，在区间[0，3]上的最小值.[2010年士兵高中数学第六大题]

参考答案函数f（x）的定义域[0，＋∞），则其导函数为 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/af6dfdb7700b4d639d7041a202e89f96.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> （1）①若a≤0 ∵f（x）＞0 ∴f（x）在[0，＋∞）递增 所以，f（x）有最小值，f（0）。 ②若a＞0 当<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/f4d8a375858f4a2e9691338c0b944390.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">时，f'（x）＜0，∴f（x）在<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/5d74db711fa84792a15c72ec7d53daa3.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">单调减. 当<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/369f3b63dc064f31a379b23b688b1fb6.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">时，f'（x）＞0，∴f（x）在<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/7b42a4fd6b94440fbde98f1ff3003d88.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">单调增. 所以，f（x）有最小值<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/a7e5e534fce44a11919838efe74bd9fe.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">， 综上f（x）在定义域上有最小值. （2）由（1）易知 若a≤0，f（x）有最小值为 m（a）＝f（0）＝0 若a＞0，f（x）有最小值为 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/d18f743b4aa64dec9c7e95b6482df82e.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 综上 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/279f7fccaa4343b09c574262af82668d.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> （3）由（1）易知：当a＝10时，<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/1d867e9cff2443d1aac6d67ff1d1c130.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，在区间<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/c21921b490484b18b26494ec56dd8207.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">单调递减. 所以<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/1d867e9cff2443d1aac6d67ff1d1c130.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">.f（x）在区间[0，3]单调递减，其最小值为<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/dc5e8591b9c948b9a9a1a3f3d9bfbf2f.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

六、立体几何

-

26

如图9所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD. 题目图片

为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点.
题目图片

图9
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求直线BF和平面BCE所成角的正弦值.[2014年士兵高中数学第七大题]

参考答案（1）取CE的中点为G，连接BG，如图10所示. 由条件知F为CD的中点，所以，可得 GF∥ED <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/a3df5a608d204545b76a98515aa9fee6.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 则GF∥AB且GF＝AB，所以GFAB为平行四边形，所以AF∥BG，因为AF<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/81b412ece9e34dfc92b87a04680a45ed.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">平面BCE，BG<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/d67425df870c49e0a034615e63674dcc.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">平面BCE，所以AF∥平面BCE. <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/6f58896c136b4699a8893dea7f1da301.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">图10 （2）DE⊥平面ACE，AF<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/14d258a0bb9e4e82b0216f2d18fbd0ad.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">平面ACD，所以DE⊥AF，因为<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/17d88ea2fc314d948b803b22bb0c0cdf.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">为等边三角形，F为CD的中点，所以AF⊥CD，即有AF⊥CD且AF⊥DE，所以AF⊥平面CDE，因为BG∥AF，所以BG⊥平面CDE，因为BG<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/b1c3f7cb5256472499aa177da43f6914.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">平面BCE，所以平面BCE⊥平面CDE. （3）根据（2）的证明，可知平面BCE⊥平面CDE，交线为CE，作FH⊥CE于H，则FH⊥平面BCE，则∠FBH即为直线BF和平面BCE所成之角，设AB＝1由条件易得 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/ca2f140f6c444cb19625ecdd29f1d0a9.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> BF＝2 则 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/bd8ef84574294ac1b9efcb349c7396ad.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 即直线BF和平面BCE所成角的正弦值为<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/86670fbe2a434d69b8018d0c56bcd507.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">.

解析：

27

如图11所示是一个直三棱柱（以A₁B₁C₁为底面）被一平面所截到的几何体，截面为ABC.已知A₁B₁＝B₁C₁＝1，∠A₁B₁C₁＝90°，AA₁＝4，BB₁＝2，CC₁＝3.
（1）设点O是AB的中点，证明：DC∥平面A₁B₁C₁；
（2）求二面角B-AC-A₁的大小；
（3）求此几何体的体积.[2013年士兵高中数学第七大题]
题目图片

图11

参考答案（1）证明：作OD∥AA，交A1B1于D，连接C1D，则OD∥BB1∥CC1，如图12所示. ∵O是AB的中点，∴<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/331aa7dcf1194e0c922e3f623681546d.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">. （AA1＋BB1）＝3＝CC1.故ODC1C是平行四边形，因此有OC∥DC1， 又∵DC1<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/6188654795d141619f5931d91ef4f26b.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">平面A1B1C1，OC<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/fc23e89510e842f8a5a886659f298bc0.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">平面A1B1C1， ∴OC∥平面A1B1C1. （2）如图12所示，过B作截面BA1C2∥平面A1B1C1，分别交AA1，CC1于A2，C2.作BH⊥A2C2，由条件可得 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/437fb3f100a54740951d0315773a9419.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 即 BC⊥AC 根据三垂线定理的逆定理知 CH⊥AC 所以∠BCH就是所求二面角的平面角. <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/d222c11e1ccc427e92fbe924d0b27bfa.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，即二面角B-AC-A1的大小为30°. <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/96a6496c9ed84c8281f22e57d54ed5da.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">图12 （3）<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/fef4c1381ec24f878477b4099ecd4242.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/f0f94fe47d724a06a8cd79f3e78a570c.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 故所求几何体的体积为<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/fcb8f3f9a86343a3bee9bc136d2e739a.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析：

28

如图13所示，l₁，l₂是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段，点A、B在l₁上，点C在l₂上，AM＝MB＝MN.
（1）证明AC⊥NB；
（2）若∠ACB＝60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值.[2012年士兵高中数学第七大题]
题目图片

图13

参考答案（1）证明：∵l1⊥l2，∴CN⊥AB ∵MN是l1，l2公垂线，∴CN⊥MN， ∴CN垂直于平面ABN.又BN平面ABN，∴CN⊥BN，∵MA＝MB＝MN， <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/bd4ca42436f54e91b72803083770e89d.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">是<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/c6bfc26a5bec49b392a542c17aad6474.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">且BN⊥AN， 由于BN⊥AN，BN⊥CN，所以BN⊥平面CAN， 又AC<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/6188654795d141619f5931d91ef4f26b.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">平面CAN，∴BN⊥AC即AC⊥NB. （2）在Rt△ABN中，∵MA＝MB，MN⊥AB，∴NA＝NB.从而CA＝CB（射影相等则斜线相等）。 又∠ACB＝60°，∴△ABC是正三角形，连CM，过N作NH⊥MC于H，连BH，如图14所示. <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/af72afca2e7a479e8c7ca6b6df973a1b.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">图14 AB⊥MN，AB⊥CM，∴AB⊥平面CMN，∴AB⊥MN，∴NH⊥平面ABC. ∴∠NBH是BN和平面ABC所成的角. 设MA＝MB＝MN＝1，则CM＝<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/f747182ca60b46ac85dff8768f4daa0f.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">. 在<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/f508fceb42b54727b2fa3ea53fd4340f.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">中，CM＝<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/ea0e5e0974b14220b9dc489525678bd4.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">. MN＝1，<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/5046b72017eb4dc3a4478903f8221ccf.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 在<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/74359752768d4082ad3d99b849e39f7f.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">中，<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/87ab6798db4c42aeb31f22e51eb45562.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 在<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/b7b773152c6c4be998d28741fc152526.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">中，∠NHB＝90°，<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/0d213813d5ae432e9a3bfa2a2430ea95.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/fe26081c8f6a4e11834e2053c33e269c.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/4dec40cb171840eb93ed1b5654dcd184.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 即NB与平面ABC所成角的余弦值为<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/e9fd91e98c4841e2b7234e9477458355.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">.

解析：

29

如图15，在三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝AC＝2.E是PC的中点，∠BAC＝60°.
（1）求异面直线AE与PB所成角的大小；
（2）求三棱锥A—EBC的体积.[2011年士兵高中数学第七大题]
题目图片

图15

参考答案（1）如图16所示，取BC的中点F，连接EF，AF，则EF∥PB，∵∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/96d301c173a649e283b8c6ced57428f3.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">为正三角形，<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/c856f19fda0749fca11cd48f78e4bb52.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">. <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/23720078be2c469990ae21ac21c2a390.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">图16 ∵PA⊥平面ABC，<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/538f5ae1166c47489aeff9507663c974.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 在<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/2f325d0e2617492283d258150a1d13ec.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">中，根据余弦定理<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/3933fd0469314d5c858f2ed35c5a0213.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/0a005d172bdd4ee78ef72518b8fb9c41.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 所以异面直线AE与PB所成的角大小为<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/3957f4c922884d41ae44ad944d5b4827.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> （2）∵E是PC的中点，∴E到平面ABC的距离为<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/77ef55fdaa194a41a49b8f7907b4b3b5.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">. 所以三棱锥A—EBC的体积为 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/7c45893c7de9423396d9e9356eae2da2.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析：

30

如图17，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF＝∠CEF＝90°，题目图片

EF＝2.
（1）求证：AE∥平面DCF；
（2）当题目图片

时，求二面角A—EF—C的大小.[2010年士兵高中数学第七大题]
题目图片

图17

参考答案（1）证明：过点E作EG⊥CF于G，易知BEGC为矩形.又ABCD为矩形，如图18所示. <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/f39a941a5e32484ebb6cae102cf415a6.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">图18 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/285bee7896b442828c2d8aaf53d5c2a4.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 为平行四边形，则AE∥DG，又AE<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/dba5878b09b24dd69bd0f483c8771582.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">平面DCF，DG<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/f6ed2c90b2df4836873df5974e4ae8dd.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">平面DCF， ∴AE／／平面DCF. （2）∵平面ABCD⊥平面BEFC，又AB⊥BC，∴AB⊥平面BEFC. 过B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH，则有AH⊥FH， ∴∠AHB是二面角A—EF—C的平面角. 在Rt<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/ea5f2ae3ccd14db599d82ca0f41b47dd.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">中，EG＝AD＝<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/f146a76de7c34c15bd0bfdf18270ae50.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，EF＝2， ∴FG＝1，∠CFE＝60°. ∵∠CEF＝90°.在Rt<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/b738473472054192998d93364b450cfa.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">中，∠CFE＝60°，EF＝2， <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/e0dad935b94242f2abed788e652193e9.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 在Rt<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/f042ea3c196242be9406cfb7c4d8bbbf.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">中，BE＝3，∠BEH＝∠CFE＝60°， <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/4576d87592c740c7804e79a7fc9b2123.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 在Rt<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/0b3e2e12c90b41ec837ac7ca763ce426.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">中 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/2d922f69c10445d194f69be8021fbe8d.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 所以二面角A-EF-C的大小为30°.

七、解析几何

-

31

已知椭圆

的—个焦点坐标为（1，0），且长轴长是短轴长的题目图片

倍.
（1）求椭圆E的标准方程.
（2）设O为原点，椭圆E与直线y＝kx＋1交于不同的两点A，B，线段AB的中点为P，若直线OP的斜率为﹣1，求题目图片

的面移.[2014年士兵高中数学第八大题]

参考答案（1）由题意可得a2＝b2＋c2，<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/8947f233970b4766a4dca56e4ecd8737.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，c＝1，解得<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/929f85ad5602444caba808f7c711ad89.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，b＝1，c＝1，故椭圆E的方程为<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/4686d4dc37b34440ae1fb7d4841160a7.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），将Y＝kx＋1代入椭圆E的方程<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/5c25e886ce7c4154ae888e2ec2e01152.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">， 整理得 （1＋2k2）x2＋4kx＝0 ① 则 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/89472b85d83449ae98bdaefabcd3e73f.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 由题意 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/dc75b4c5c48c49739d0161ef4e8617b8.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 则可解得 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/5d814feb8e96424eb1fa2462d6a11ac6.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 则（1）化为 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/3be3c8f729674eefb06a40146dad9a94.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 得 x1＝0，<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/4a96821f425f43d8a264697dcb8c1b59.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 则以OA为底，计算<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/a9b5eda9d65541ee98496852b56fb6ef.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">的面积为 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/45c814056e1e49a391c1c3e6c0a3809c.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析：

32

已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线题目图片

的焦点，离心率为

.
（1）求椭圆E的标准方程.
（2）过椭圆E的右焦点F作直线l交椭圆E于A，B两点，交y轴于M点，若题目图片

的值.[2013年士兵高中数学第八大题]

参考答案（1）设椭圆E的方程为 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/c914caf1292248b09b17056bfa6cb1a4.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 抛物线x2＝4y的焦点为（0，1），所以椭圆E的一个顶点为（0，1），即b＝1.由 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/c0acfcb0b0404be8981f8fd773c5c054.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 得 a2＝5 故椭圆E的方程为 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/ee1796f372fb4112903967704aace174.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> （2）易求出椭圆E的右焦点F（2，0）。设A（x1，y1），B（x2，y2），M（O，yO），显然直线l的斜率存在，设l的方程为 y＝k（x－2） 代入椭圆E的方程 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/ebd1dece507442ef903e3a95ed738c6b.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 整理得 （1＋5k2）x2－20k2x＋20k2－5＝0 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/ac98ee999d0d488ba0f40b266e6c489e.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 又<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/750b01037597402b8aa0e87203654acf.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">， 而<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/b46b9d5804114d42ac75e9333b3cc3d7.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">， 即<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/16d4950f301f48418040afe526fbb833.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/131b62a3e9e048ed9089aec4ba809bad.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/11b848e94fdd45aebed9a2227938bd31.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析：

33

已知椭圆

的离心率为

，短轴的一个端点到右焦点的距离为题目图片

.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆C交A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为题目图片

，求

面积的最大值.[2012年士兵高中数学第八大题]

参考答案（1）据题意有 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/ecb3b57f580844849e6afd6639e5879b.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> ∴所求椭圆方程为<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/0c8b22ed0abb49378fe521979a40b5b5.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">. （2）设直线l方程为 x＝my＋n ① O到l的距离为<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/53cbac5826214f16acb0bee949bf8db5.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">， 将①代入椭圆方程得 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/2d922a67ad9e41419953d4780856ac08.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 设A（x1，y1）、B（x2，y2），则有 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/bdf7c5daadc4478db7c383ab44b3f872.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 弦长为 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/25fbd0d3df2b49f085eed81caa1f5c83.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/985bdf4d233242d486012aebeb707e3b.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">当且仅当<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/d201551d23b14a48b8d0e7f5d61f8a0e.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">. 即m2＝3时，∣AB∣最大为2. 此时<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/41743c785696413da16924c19cf0ebd2.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">最大为 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/bf2dff95904e4f4e8e625b388aeadbbf.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 又当直线l斜率为0时，l方程为 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/00f70c2a0c0543f095ea0d68ca3fac7e.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 代入椭圆方程得 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/ce5e96e258a14da9a9987e7ee3cd9f6b.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> ∴弦<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/f479b21f1b414b70b9085f0edfb41ed6.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，所以<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/b7868e9337a04b0fa191eeef6ebaa1cd.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">面积的最大值是<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/7880b567d63c407ebbb7969cbdfbe151.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">.

解析：

34

设椭圆

的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率题目图片

，右准线为l，M、N是l上的两个动点，题目图片

.如图19所示.

图19
（1）如果

，求椭圆的方程：
（2）证明：当题目图片

取最小值时

共线.[2011年士兵高中数学第八大题]

参考答案根据题设，可得 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/c8fd347003554453a1acae4b89c8c1b8.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 右准线l的方程为 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/bb62ef5679454d1da7178ac1d9dbe616.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 设M<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/c572ad9f0e694f62afcc04c7a2872679.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，则有 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/66cf03c077d74a8c89daf0e1dabddbbb.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/c3cbe44297ca4a7fb3a3076b3d3bfb0e.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> （1） <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/c0b37d24e0e34cb691d2da5737db71c1.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">， ∵a＝2，∴<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/9930faa072dc480ba310d1a221eac65b.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> ∴所求椭圆方程为<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/fea6dd41b37a4e3382549b63473a31c5.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">. （2）证明： <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/bfd47d352f324942baecdc71b74af372.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/9d50c1b2b670497b820bc4db643b5708.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">. 当且仅当y1＋y2＝0时，<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/37aec66937a64b018951e510b3913da2.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">取最小值<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/cab6a61463cd42da87d5f7663b5884b7.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">. 此时 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/e4a1612fc71343bab8f5d6a007a84792.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/9569d87b6e9946ea8d4ee950e04779a6.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 所以 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/4816457d599642a58eb24a53d16cebfa.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">共线.

解析：

35

设椭圆C：

，过点

左焦点为

.
（1）求椭圆C的方程；
（2）当过点P（4，1）的动直线l与椭圆C相交于两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足题目图片

.证明：点Q总在某直线上.[2010年士兵高中数学第八大题]

参考答案（1）据题意 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/41bde71319134d38a0c6c62cb90e3fec.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 所以 椭圆C的方程为 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/299e87145e94470e912b3280a8df5fcb.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> （2）<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/6777d79ede9948ca8fe02e2b642dbe8e.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">.设<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/94b9d71bdcad475d87680b6fb938db48.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">. 设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x,y），又A，P，B，Q共线. <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/3e89e624cd2c47819b82fc2f28db382f.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">， <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/f85b56b4d4ea4e978f2ad9fdeb0d1785.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">， <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/3f0026102eb8497d93eacb5582baa2a0.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">， 从而有 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/6c7bb44598824519a1cf8f7ef1c290af.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> ① <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/c6c1d233344f493a9ca8be6ab5bde7ca.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> ② 又点A1B在椭圆C上，所以 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/b2e2ee88f05846c4ba7dfb2dfccfb1f6.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> ③ <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/5c50eeb283ac4b7f83957c8d398c430d.jpeg" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> ④ ①＋②×2且利用③④，可得到 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/5c03b1e3e7ee4cf4b168da9355c1eb71.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 即点Q（x，y）总在定直线2x＋y＝2上.