2020年硕士研究生《数学三》试题（网友回忆版）

参考答案 B

解析：由拉格朗日中值定理知，存在ξ介于a与f（x）之间，使得sinf（x）－sina＝cosξ·[f（x）－a]。
由，则有。
从而有
故应选B项。

参考答案 C

解析：由f（x）表达式知，间断点有x＝0，±1，2。
因，故x＝0为可去间断点；
因，故x＝1为第二类间断点；
因，故x＝－1为第二类间断点；
因，故x＝2为第二类间断点；
综上，共有3个第二类间断点。故应选C项。

参考答案 A

解析：因为f（x）在（－∞，＋∞）上具有连续导数，且为奇函数，故f′（x）为偶函数，又cosf（x）也为偶函数，从而cosf（t）＋f′（t）为偶函数，进而是奇函数。故应选A项。

参考答案 B

解析：由幂级数性质知，幂级数与有相同的收敛半径。
因的收敛区间为（－2，6），故有的收敛半径R＝4，从而的收敛半径R＝4，故当（x＋1）²＜4时，级数收敛，所以其收敛区间为（－3，1）。故应选B项。

参考答案 C

解析：由A不可逆知，r（A）＜4，又元素a₁₂对应的代数余子式A₁₂≠0，故r（A）≥3，从而r（A）＝3。
由，可知r（A^*）＝1。
故A^*x＝0的基础解系含有3个解向量。
因a₁，a₂，a₃，a₄为矩阵A的列向量组，则a₁，a₃，a₄可看做作A₁₂对应矩阵列向量组的延长组，故a₁，a₃，a₄线性无关。
又A^*A＝A^*（a1，a2，a3，a4）_＝｜A_｜E＝₀，故_a1，a3，a4均为A<_sup_>*<_/sup>x＝0的解。
综上，a₁，a₃，a₄为A*x＝0的一个基础解系，故A*x＝0得通解为x＝k₁a₁＋k₂a₃＋k₃a_{4<^/sub>，其中k¹，k2，k3为任意常数。}

参考答案 D

解析：a₁，a₂是A属于特征值1的线性无关的特征向量，即Aa₁＝a₁，Aa₂＝a₂，故A（a₁＋a₂）＝a₁＋a₂，即a₁＋a₂也是A属于特征值1的特征向量。
设k₁（a₁＋a₂）＋k₂a₂＝0，即k₁a₁＋（k₁＋k₂）a₂＝0，
由于a₁，a₂线性无关，故k₁＝k₂＝0，即a₁＋a₂，a₂线性无关。
a₃是A属于特征值－1的特征向量，即Aa₃＝－a₃，因此A（－a₃）＝－（－a₃），即－a₃也是A属于特征值－1的特征向量
可取P＝（a₁＋a₂，－a₃，a₂），则P是可逆矩阵，且满足。
故应选D项。

参考答案 D

参考答案 C

解析：由二维正态的性质知X＋Y～N（μ，σ²），因
μ＝E（X＋Y）＝E（X）＋E（Y）＝0
故。
又服从二维正态分布，而
故与X不相关，由二维正态的性质知，与X独立。
故应选C项。

参考答案 （π－1）dx－dy

解析：因为
从而
故dz_（0，π）＝（π－1）dx－dy。

参考答案 y＝x－1

参考答案 Q＝8

参考答案 πln2－π/3

解析：

参考答案 a²（a²－4）

解析：

参考答案 8/7

解析：Y的全部可能取值为0，1，2。
当X＝3k－2（k＝1，2…）时，Y＝1；X＝3k－1（k＝1，2…）时，Y＝2；当X＝3k（k＝1，2…）时，Y＝0。
故
从而EY＝8/7。

参考答案 由题意有<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/69dfbb8d04f44f1a8b21b84ea9d1fd20.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">令1/n＝t，则<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/0b8c979cf0784bd1bc0930dca9f9b4af.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">从而a＋1＝2，－e/（2b）＝1，解之得<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/8b30482d3c0a44b682eeb919cb954912.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">。

参考答案 因为f_x′＝3x2－y，f<sub>y^</sub>′＝24y²－x，<br />联立方程组<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/b298eb24165948feb85ebf1801bce566.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">解得驻点为（0，0）（1/6，1/12）。<br />在点（0，0）处：<br />A＝f″_xx（0，0）＝0，B＝f″_xy（0，0）＝－1，C＝f″_yy（0，0）＝0，AC－B²＝－1＜0，故（0，0）不是极值点。<br />在点（1/6，1/12）处：<br />A＝f″_xx（1/6，1/12）＝1＞0，B＝f″_xy（1/6，1/12）＝－1，C＝f″_yy（1/6，1/12）＝4，AC－B²＝4－1＞0，故（1/6，1/12）是极小值点，极小值为<br />f（1/6，1/12）＝（1/6）³＋（1/12）³－（1/6）·（1/12）＝－1/216。

参考答案 （Ⅰ）由y″＋2y′＋5f（x）＝0，得其特征方程为λ²＋2λ＋5＝0，解得<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/1876f43ccd3646a0a5183c3a308abcb5.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">。<br />故方程通解为f（x）＝e^－x（C₁cos2x＋C₂sin2x）。<br />因f（0）＝1，f′（0）＝－1，则有<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/f082c786e6cb43989af6a3b160fe1128.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">解得<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2f6f1044ac6a4c25a7153b677a3b17f1.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，从而有f（x）＝e^－xcos2x<br />（Ⅱ）因<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/3fa30b9b2a1d488e97a2382c69abb230.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">故<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/f80d6b8632aa48d38a224e2a4225cedd.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">从而有<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/53c9cb7ef2404ef690731042d4073a95.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">故<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/9b27efc2108b412fbeaf09448fea751b.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">因<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/4a8b5d7a054943f8a812baafa35793d2.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">故<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/8856feb275a74aaa8f83bdc0bba54c34.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">进而有<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/222344486f904088a45fa3b93a6aae36.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

参考答案 记<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/33541fcb62a247629a997ffb6dc0d69a.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，则<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/86c4d002362442fa96db2fae99deff93.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，故<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/8e79a1feca4e4d778d8ad8ea3c8888dd.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">因积分区域D关于y轴对称，故<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/3f5dc5627c47448ea3aa0c8131c9cad4.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">。<br />又<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/3e10d1eb83fb4dcd80fbe028b1477c95.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">可知<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2ccbb073720f4aa99101eb556c610c70.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">因此<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/3b5d0ee19fb34754b90a4e554936e136.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">因积分区域D关于y轴对称，<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/bff12f04d4884f099dae0f3443fe0d42.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">是x的奇函数，故<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/3a5f145c3a964765ae7d295504f7484c.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">。<br />故<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/fc77e30dd5974ccd8d1f199bdf246dba.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

参考答案 （Ⅰ）因｜f′（x）｜在[0，2]上连续，故存在最大值<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/32eaf764539e415aa29371bd655f9292.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">。若M＝0，则对∀ξ∈（0，2），都有｜f′（ξ）｜≥0，命题成立。<br />若M＞0，因f（0）＝f（2）＝0，故存在x₀∈（0，2），使得｜f（x₀）｜＝M。<br />当x₀∈（0，1），由拉格朗日中值定理知，存在ξ₁∈（0，x₀）⊂（0，1），使得f（x₀）－f（0）＝f′（ξ₁）x₀，则有<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/11978b0c257f410dbaed4d97b9697998.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">。<br />当x₀∈（1，2）由拉格朗日中值定理知，存在ξ₂∈（x₀，2）⊂（1，2），使得f（2）－f（x₀）＝f′（ξ₂）（2－x₀），则有<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/3216a12627db428e832b743385bd6675.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">。<br />当x₀＝1，由拉格朗日中值定理知，存在ξ₃∈（0，1），使得｜f′（ξ₃）｜＝｜f（1）－f（0）｜＝｜f（1）｜＝M。<br />综上，存在ξ∈（0，2），使得｜f′（ξ）｜≥M。<br />（Ⅱ）假设M＞0，因对任意x∈（0，2），有｜f′（x）｜≤M，由（Ⅰ）知，<br />当x₀∈（0，1）或x₀∈（1，2）时，存在ξ∈（0，2），使得｜f′（ξ）｜＞M，矛盾，从而有M＝0。<br />当x₀＝1时，由｜f（1）｜＝M，则f（1）＝±M，不妨设f（1）＝M。<br />构造函数g（x）＝f（x）－Mx，x∈[0，1]。<br />因为g′（x）＝f′（x）－M≤0，故g（x）单调不增。<br />又g（0）＝0，g（1）＝0，从而g（x）≡0，x∈[0，1]，即f（x）＝Mx，x∈[0，1]。<br />构造函数h（x）＝f（x）＋Mx－2M，x∈[1，2]。<br />因为h′（x）＝f′（x）＋M≥0，故h（x）单调不减。<br />又h（1）＝M＋M－2M＝0，h（2）＝0，从而h（x）≡0，x∈[1，2]，即f（x）＝－Mx＋2M。<br />综上，当x₀＝1时，<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/5cc2f7cb65d344d68a7f6c6573d48bce.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">因为<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/948a493552254f02b93cc0f65da2464c.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/85bd5db863284a87a419bbc9b4bd1949.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">故与f（x）在x＝1处可导矛盾，从而当x₀＝1时，有M＝0。<br />若f（1）＝－M，则可构造g（x）＝f（x）＋Mx，h（x）＝f（x）－Mx＋2M，同理可证。<br />综上，若对任意x∈（0，2），｜f′（x）｜≤M，则M＝0。

参考答案 （Ⅰ）设二次型f的矩阵为A，则<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/40919aeee2ab4a929357e1f71e66ae40.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">。<br />又f经正交变换X＝QY化成g（y₁，y₂）＝ay₁2＋4y₁y₂＋by<^sub>2</sub>²，即<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/5c928b1a2cf24846831a017bd285126b.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">因此<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/f9cb7525921e48bfa170cb1cde8f46e7.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">。记<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/60fac67701b64a7e967bc9b69e8c2a1c.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，由于Q为正交矩阵，故A与B相似且合同，<br />故<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/ccf2b944d26e4e96bea98093e698384a.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，即<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/5caabde7c12249cd93adee01405edadf.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，解得a＝4，b＝1或a＝1，b＝4。<br />又a≥b，故a＝4，b＝1。<br />（Ⅱ）由（Ⅰ）知，<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/a2f66f4abbe9427098476c0d5e0c6874.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，且A与B相似。又<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/7451e1fd7fd2413794f89bd650503b1c.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">可知，A与B特征值均为λ₁＝0，λ₂＝5。<br />对于λ₁＝0，解（A－0E）x＝0，得A的属于特征值0的特征向量<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/6d01e7f6c6f54e8187d7cbb3cb397bd5.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，<br />对于λ₂＝5，解（A－5E）x＝0，得A的属于特征值5的特征向量<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/04788402bec34fb6aa9bec24f0a00f41.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，<br />α₁，α₂已经正交化，故直接单位化，得<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/2fe4ca83897c4df4920fc655cfde3807.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">故可取P₁＝（β₁，β₂），则P₁为正交矩阵，且<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/e55f930fea48417c91e593d5c121d820.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">。<br />对于λ₁＝0，解（B－0E）x＝0，得B的属于特征值0的特征向量<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/d36fcac55a1e42f0bbb0b4bd0c8e7afd.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，<br />对于λ₂＝5，解（B－5E）x＝0，得B的属于特征值5的特征向量<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/10c9cdb04ffb48bebf44a72deb62801a.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，<br />故可取P₂＝（β₂，β₁），则P₂为正交矩阵，且<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/f7482e763faf457eb7499cc78e639898.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">。<br />则有P₁－1AP₁＝P₂－1BP₂，因此P₂P₁－1^AP<sub>1^</sub>P<sub>^2</sub>^－1＝B。<br />取<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/510dbf168c96472a9efc415146675df8.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">则Q^T＝（P1P2^T）^T＝P2P1^T，Q^－1＝（P1P2^T）^－1＝（P2^T）<_su_p>－1</_su_p>P1<sup>_－1_</sup>＝P₂P1<su_p>T</_su_p>。<br />综上，有Q为正交矩阵，且满足Q^TAQ＝B。

参考答案 （Ⅰ）若a与Aa线性相关，则a与Aa成比例，即有Aa＝ka。<br />由于a是非零向量，故根据特征值、特征向量的定义知，a是A的属于特征值k的特征向量。与已知矛盾，故a与Aa无关，从而P可逆。<br />（Ⅱ）由A²a＋Aa－6a＝0知，A²a＝－Aa＋6a，则<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/f8e3b75a204043b994e6bbcf63c79e28.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">记<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/20c3520f3b634c29aedb1b7adda2d3fc.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，则有AP＝PB，得P^－1AP＝B，故A与B相似。<br />因为<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/d2d360ecb9184c289b445eb356f0de67.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">可知，B的特征值为λ₁＝－3，λ₂＝2。<br />故A的特征值也为λ₁＝－3，λ₂＝2。<br />因此A可相似对角化。

参考答案 （Ⅰ）因（X，Y）服从区域<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/a00d6b2db5b04365ac43f82a91ec620c.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">上的均匀分布，故<br />P{U＝0，V＝0}＝P{X＋Y≤0，X－Y≤0}＝1/4，<br />P{U＝0，V＝1}＝P{X＋Y≤0，X－Y＞0}＝0，<br />P{U＝1，V＝0}＝P{X＋Y＞0，X－Y≤0}＝1/2，<br />P{U＝1，V＝1}＝P{X＋Y＞0，X－Y＞0}＝1/4。<br />从而（U，V）的概率分布为<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/37e68dd9173143f39bff62f19e9642af.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">（Ⅱ）由（Ⅰ）知，<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/437c0c20e2d14e80a7edad3793ec3a56.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">故E（UV）＝1/4，E（U）＝3/4，E（V）＝1/4，D（U）＝3/16，D（V）＝3/16。<br />从而<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/5070e948d68246cc8264009d9af7208e.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

参考答案 （Ⅰ）<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/31a6367146f942298f781dfeb5bbe7b4.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/520232661a924a7aa4e8409704fb8b7b.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">（Ⅱ）由题意得，T的概率密度为<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/c6dd5959c977496bbd1beda68423d80d.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">似然函数<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/df186e1115904c91a5f282410afc41c8.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">当t_i＞0时，<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/ed7905970ef847c49b3ae2c097dd3130.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/9da5345bb25649c5a7c3670216ccaa89.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">令<br /><img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/7329dcd33dfe4d0e977152cbd57eecf2.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">解之得θ的最大似然估计值为<img src="https://img.huikao8.com/huixue_img/importSubject/410391f82f244c62b2c3ed281b548d01.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">。