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2021年硕士研究生《数学三》试题（网友回忆版）

数学三 历年真题 共 22 题 815 次浏览 更新于 2026-09-26
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一、选择题

1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1
当x→0时，题目图片是x7的（　）。
  • A.低阶无穷小
  • B.等价无穷小
  • C.高阶无穷小
  • D.同阶但非等价无穷小
2
函数题目图片，在x＝0处（　）。
  • A.连续且取极大值
  • B.连续且取极小值
  • C.可导且导数为0
  • D.可导且导数不为0
3
设函数f（x）＝ax－blnx（a＞0）有2个零点，则b/a的取值范围为（　）。
  • A.（e，＋∞）
  • B.（0，e）
  • C.（0，1/e）
  • D.（1/e，＋∞）
4
设函数f（x，y）可微，且f（x＋1，ex）＝x（x＋1）2，f（x，x2）＝2x2lnx，则df（1，1）＝（　）。
  • A.dx＋dy
  • B.dx－dy
  • C.dy
  • D.－dy
5
二次型f（x1，x2，x3）＝（x1＋x2）2＋（x2＋x3）2－（x3ub>－x>1）2的正惯性指数和负惯性指数依次为（　）。
  • A.2，0
  • B.1，1
  • C.2，1
  • D.1，2
6
设A（1，2，3，4）为四阶正交矩阵，若矩阵题目图片，k表示任意常数，则线性方程组Bx＝的通解x＝（　）。
  • A.2＋3＋4＋k1
  • B.1＋3＋4＋k2
  • C.1＋2＋4＋k3
  • D.1＋2＋3＋k4
7
已知矩阵题目图片，若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q，使PAQ为对角矩阵，则P，Q可以分别取（　）。
  • A.题目图片
  • B.题目图片
  • C.题目图片
  • D.题目图片
8
设A，B为随机事件，且0＜P（B）＜1，下列命题中不成立的是（　）。
  • A.若P（A｜B）＝P（A），则P（A｜）＝P（A）
  • B.若P（A｜B）＞P（A），则P（｜）＝P（）
  • C.若P（A｜B）＞P（A｜），则P（A｜B）＞P（A）
  • D.若P（A｜A∪B）＞P（｜A∪B），则P（A）＞P（B）
9
设（X1，Y1），（X2，Y2），…，（Xn，Yn）是来自总体N（μ1，μ2，σ12，σ2sub>2，ρ）的简单随机样本，令题目图片，则（　）。
  • A.是θ的无偏估计，题目图片
  • B.不是θ的无偏估计，题目图片
  • C.是θ的无偏估计，题目图片
  • D.不是θ的无偏估计，题目图片
10
设总体X的概率分布P{X＝1}＝（1－θ）/2，P{X＝2}＝P{X＝3}＝（1＋θ）/4，利用来自总体的样本值1，3，2，2，1，3，1，2，可得θ的最大似然估计值为（　）。
  • A.1/4
  • B.3/8
  • C.1/2
  • D.5/2

二、填空题

9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在题中横线上。

11
若题目图片，则题目图片。
12
题目图片。
13
设平面区域D由曲线题目图片与x轴围成，则D绕x轴旋转所成旋转体的体积为。
14
差分方程Δyt＝t的通解为。
15
多项式题目图片中x3项的系数为。
16
甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球.令X，Y分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X与Y的相关系数。

三、解答题

15～23小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17
（本题满分10分）
已知题目图片存在，求α的值。
18
（本题满分12分）
求函数题目图片的极值。
19
（本题满分12分）
设有界区域D是x2＋y2＝1和直线y＝x以及x轴在第一象限围成的部分，计算二重积分题目图片。
20
（本题满分12分）
设n为正整数，y＝yn（x）是微分方程xy′－（n＋1）y＝0满足条件题目图片的解。
（1）求yn（x）。
（2）求级数题目图片的收敛域及和函数。
21
（本题满分12分）
设矩阵题目图片仅有2个不同的特征值，若A相似于对角矩阵，求a，b的值，并求可逆矩阵P，使得P－1AP为对角矩阵。
22
（本题满分12分）
在区间（0，2）上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为X，较长的一段长度记为Y，令Z＝Y/X
（1）求X的概率密度；
（2）求Z的概率密度；
（3）求E（X/Y）。