2025年成人高等考试《数学一》（专升本）试题（网友回忆版）

参考答案 D

解析：本题可先根据复合函数求导法则求出的导数，再将代入导函数中计算出的值。 步骤一：求的导数。对于复合函数y = f(g(x))，其求导公式为。令u = 7x，则，根据复合函数求导法则对f(x)求导： 对关于u求导，根据求导公式，可得。 对u = 7x关于x求导，可得。将上述结果代入复合函数求导公式中，可得。 步骤二：计算的值。将代入中，可得：根据三角函数特殊值可知，所以，即。综上，答案是D选项。

参考答案 C

解析：本题可根据求导公式分别对函数求一阶导数、二阶导数、三阶导数。 步骤一：求一阶导数y'根据求导公式，，对求导： 步骤二：求二阶导数y''对求导： 步骤三：求三阶导数y'''对求导：综上，答案选C。

参考答案 B

参考答案 A

参考答案 A

解析：本题可根据定积分的几何意义来求由曲线，直线x = 1、x轴围成图形的面积。### 步骤一：明确定积分的几何意义由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b（a＜ b）以及x轴所围成的曲边梯形的面积S，当在[a,b]上恒成立时，。在本题中，对于函数，当时，，所以由曲线，直线x = 1、x轴围成图形的面积为。### 步骤二：计算定积分根据牛顿 - 莱布尼茨公式：若，则。对于，由求导公式，可得，即是的一个原函数。那么。综上，答案是A选项。

参考答案 C

解析：先将展开得，再分别对各项积分，，，，所以。答案选C。

参考答案 B

解析：本题可利用换元积分法来求解。令，对u求导，根据复合函数求导法则，可得，那么。将和代入到中，可得：已知F(x)是f(x)的一个原函数，根据原函数的定义可知（C为常数），所以。再把代回上式，得到。综上，答案是B选项。

参考答案 C

解析：先求不定积分，令t=x + 5，则dt=dx，。再计算定积分。答案选C。

参考答案 D

参考答案 C

参考答案 B

解析：本题可利用幂级数收敛半径的公式来求解。### 步骤一：将给定级数转化为标准幂级数形式对于幂级数，本题中的级数，可令t=x - y，则原级数变为，此时。### 步骤二：求收敛半径R根据幂级数收敛半径的计算公式或，这里使用来计算。已知，，则：当时，，所以。即关于t的幂级数的收敛半径为1。由于t=x - y，所以原级数的收敛半径也是1 ，本题选项中无正确答案。推测题目可能是，令t = 3x-1，此时，同样根据（关于t的幂级数收敛半径）。因为t = 3x-1，所以|3x - 1|＜1时级数收敛，即，那么原幂级数的收敛半径，答案选B。

参考答案 D

解析：

参考答案 2e

参考答案 1/6ee^2x³＋C

参考答案 2xydx＋(x²-siny)dy

参考答案 整理为dy/dx＝2y(1＋x²)，可分离变量方程。<br />分离变量：(1/y)dy＝2(1＋x²)dx(y≠0)<br />两边积分<br />∫(1/y)dy＝∫2(1＋x²)dx<br />ln｜y｜＝2x＋(2/3)x³＋C₁<br />去掉对数<br />｜y｜＝e^(2x＋(2/3)x³＋C₁)<br />令C为任意常数，C可以取0，包含y＝0解。<br />通解：y＝Ce^(2x＋(2/3)x³)。

参考答案 积分区域D：0≤x≤2，0≤y≤3，将二重积分化为累次积分<br />∬_D(4－x－y)dxdy＝∫(0到2)dx∫(0到3)(4－x－y)dy<br />先对y积分：<br />∫(0到3)(4－x－y)dy＝[4y－x・y－(1/2)y²]，上下限0到3<br />＝(12－3x－9/2)－0<br />＝15/2－3x<br />再对x积分：<br />∫(0到2)(15/2－3x)dx＝[(15/2)x－(3/2)x²]，上下限0到2<br />＝(15－6)－0<br />＝9<br />所以该二重积分结果为9。

参考答案 证明：<br />构造函数g(x)＝alnx－(1/2)x²，定义域x＞0。<br />求导得g'(x)＝a/x－x＝(a－x²)/x。<br />令g'(x)＝0，因为x＞0，解得驻点x＝√a。<br />当0＜x＜√a时，g'(x)＞0，g(x)单调递增；<br />当x＞√a时，g'(x)＜0，g(x)单调递减。<br />所以x＝√a处g(x)取得最大值。<br />g(√a)＝a・ln√a－(1/2)・(√a)²＝(1/2)a(lna－1)。<br />已知0＜a≤e，则lna≤1，即lna－1≤0，又a＞0，<br />故g(√a)＝(1/2)a(lna－1)≤0。<br />最大值小于等于0，因此对任意x＞0，g(x)≤0，<br />即alnx－(1/2)x²≤0，<br />所以alnx≤(1/2)x²，不等式得证。