2015年公安边防消防警卫部队院校招生统考《数学》试题（网友回忆版）

公边消警-数学 / 历年真题　共 23 题　更新于 2026-09-28

一、单项选择题

己知集合

则

＝（　　）.

参考答案B

解析

sin300°的值是（　　）.

参考答案D

解析

在某省公安系统搏击技能比赛中，甲、乙、丙三人获得前三名.甲说“我不是第三名”，乙说“我不是第一名”，丙说“我不是第二名也不是第三名”.若三人所说都是真的，则以下判断正确的是（　　）.

A.甲是第一名，乙是第二名，丙是第三名
B.甲是第三名，乙是第一名，丙是第二名
C.甲是第二名，乙是第三名，丙是第一名
D.甲是第三名，乙是第二名，丙是第一名

参考答案C

解析丙说“我不是第二名也不是第三名”，则丙为第一名，甲说“我不是第三名”，则甲为第二名，故乙是第三名.

在平面直角坐标系xOy中，双曲线题目图片

的两条渐近线方程是（　　）.

A.x±y＝0
B.x±y＝1
C.x＝±1
D.y＝±1

参考答案A

解析由

则得渐近线方程为x±y＝0.

在等差数列{a_n}中，若a₃＝3，a₇＝11，则a₅的值为（　　）.

参考答案C

解析a₃，a₅，a₇成等差数列，故题目图片

在平面直角坐标系xOy中，若题目图片

是圆的方程，则实数m的取值范围是（　　）.

A.（1，10）
B.（0，10）
C.（10，＋∞）
D.（－∞，10）

参考答案D

解析

，表示圆的条件是

则

得m＜10.

函数

的反函数为（　　）.

参考答案A

解析由

解出

，再将x，y互换，得题目图片

函数y＝sin2x图像的一条对称轴方程是（　　）.

参考答案C

解析正弦函数的对称轴过函数图象的顶点，依题意有
题目图片

其中n取任意整数，则当n＝0时，可得题目图片

为一条对称轴.

设a＞0且a≠1，函数题目图片

的图像恒过定点P，则点P的坐标是（　　）.

A.（0，3）
B.（0，4）
C.（1，3）
D.（1，4）

参考答案B

解析a⁰＝1为恒等式，故题目图片

恒过点（0，4）.

10.

己知函数

，则

的值为（　　）.

A.2
B.4
C.－2
D.－1

参考答案D

解析

，故

11.

己知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个互不相同的平面，则下列命题中正确的是（　　）.

A.若m∥α，，n∥α，则m∥n
B.若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C.若m∥α，m∥β，则α∥β
D.若m⊥α，n⊥α，则m∥n

参考答案D

解析A项，平行于同一个平面的两条直线不一定平行，此时存在多种情况；B项，垂直于同一个平面的两条直线相互平行，这是线面垂直的性质；C项，一条直线平行于两个不同的平面，只需要这条直线平行于两平面的交线即可，与两平面的空间位置无关；D项，两直线垂直于同一平面，则这两条直线必定平行.

12.

某连队有4名士兵报考军事院校，每人须从3所军事院校中选1所报考，且每所院校至少有1人报考，则不同的报考方式共有（　　）.

A.24种
B.36种
C.72种
D.81种

参考答案B

解析分析可知，有两名士兵报考同一所院校，从此4名士兵中选出两名作为一个整体，与剩下的两个士兵作为三个元素作全排列，题目图片

二、填空题

13.

函数

的定义域为（）.

参考答案<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/4a34faf9a88147eab4f24a2d67081b64.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析

，即

14.

己知△ABC的面积为题目图片

，AB＝2，A＝60°，则AC的长为（）.

参考答案2

解析

，代入条件得AC＝2.

15.

己知平面向量a＝（－1，4），b＝（t，－2），若a∥b，则实数t的值为（）.

参考答案<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/2ddf3d2b62d646e79493e164419e8d58.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析a∥b，则

得

16.

设S_n是数列{a_n}的前n项和，且题目图片

，则S₁₀₀的值为（）.

参考答案50

解析

17.

设

，则

的值为（）（用数字作答）.

参考答案16

解析令x＝1，即得

18.

如图1所示，在边长为2的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高.如果将三角形ABC沿AD折成60°的二面角B'-AD-C，那么三棱锥A-B'CD的体积为（）.
题目图片

图1

参考答案<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/9862d5e52f6f4c8a918023c0303021f2.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析

，即得

三、解答题

19.

己知

其中α为第一象限角.
　（1）求sin 题目图片

的值；
　（2）求题目图片

的值.

参考答案（1）因为<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/ac7df5b6db304217ae0d3ac0ec6f5962.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 所以<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/1b0de199abd44361881bb3a986184d3a.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> （2）因为<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/9233b5f928074424b7295c0a57937b88.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">从而tanα＝2， 故<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/9742c83150d24446989bd31152369719.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析

20.

如图2所示，在三棱锥P-ABC中，题目图片

，

AC＝1.
　（1）求证：AC⊥平面PAB；
　（2）求二面角A-PB-C的大小.
题目图片

图2

参考答案（1）因为PA⊥平面ABC，<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/34e847ddf4bd46fc902bbcfbab97e65a.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，所以<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/26e16c357e94427a97bedbb600972fb3.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 又∠BAC＝90°，即AC⊥AB，<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/47d0d9e20a684b478a3b848f6aeb31de.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">， 故AC⊥平面PAB. （2）取PB的中点D，连接AD，CD，如图3所示. <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/25b19c0fe1594a44866336f1c61fee73.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">图3 因为<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/9376ee6725384f32b353fc4e03bae019.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">且PA⊥AB，所以<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/48dbf6d9925a48a08fc61e0d391264b4.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">且AD＝1.由条件知<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/26d8806db3c04dd4a6067ba7d1cec8b0.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">从而CD⊥PB，因此∠ADC是二面角A-PB-C的平面角.由（1）知，△ACD为直角三角形，因为AC＝AD＝1，所以∠ADC＝45°. 因此二面角A-PB-C的大小为45°.

解析

21.

设函数

　（1）讨论f（x）的单调性；
　（2）求f（x）在闭区间[－2，5]上的最大值和最小值.

参考答案（1）当x≥2时，<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/9bbae22ff7864b20bead0dbb404a4ffb.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 当x＜2时，<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/2252d3cf88074c4a8dd0027d9f71ba34.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> 所以函数f（x）在（－∞，－1]上单调递减，在[－1，＋∞）单调递增. （2）由（1）知，f（x）在[－2，－1]上单调递减，在[－1，5]单调递增， 则f（x）在闭区间[－2，5]上的最小值为f（－1）＝－5. 又因为f（－2）＝－4，f（5）＝19， 则f（x）在闭区间[－2，5]上的最大值为f（5）＝19.

解析

22.

随着改革开放的不断深入和国际交流的不断发展，我国出入境人员的数量迅速增加.据对某边防口岸近年来出入境人员统计资料的分析，该口岸我国居民和外籍人员每年出入境的人次分别成等比数列和等差数列，己知我国居民和外籍人员第1年出入境分别为10万人次和2万人次，第3年分别为22.5万人次和4.5万人次.
　（1）求该口岸第4年出入境人次；
　（2）求该口岸前n年出入境人员总人次（结果用含n的代数式表示）.

参考答案（1）设an，bn分别表示该边防口岸我国居民和外籍人员第n年出入境的人次（单位：万人次），由题意知，数列<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/e27cd8cbe9ff446bbfa83e96b735d93d.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">为等比数列，<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/49dc1d38b3de442283594d53531e1c9d.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">为等差数列. 设q，d分别表示它们的公比和公差，则 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/f70b006b42bd44eebafd584dce638a1d.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">由a1＝10，a3＝22.5，得<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/e6ca1cdc33824c6982efeffddb14716a.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">由b1＝2，b3＝4.5得<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/9087249907da46b9b8e5ebed96208bb7.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">.所以 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/29811acc06454aa9823c8c4c9e9b966f.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">第4年出入境人次为 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/36343d8427dd4422901692a9cf827dd8.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">（2）设前n年出入境总人次为Sn，因为 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/52271373bb244c3cadaf82649c3ec81a.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">所以 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/663eb29e04394be2b4f946be0da45ceb.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">即该口岸前n年出入境总人次为<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/59417e6e2d954851ab23125bcd53c7a2.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">

解析

23.

如图4所示，在平面直角坐标系xOy中，己知椭圆题目图片

的离心率为

且上顶点为

设右焦点为F.
　（1）求椭圆的标准方程；
　（2）求过B，F两点且与右准线l相切的圆的方程；
　（3）过F且与坐标轴不垂直的直线m与椭圆交于M，N两点，线段MN的中点为Q.记S为△OFQ的面积，求S的最大值及此时直线m的方程.
题目图片

图4

参考答案（1）由题意，得<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/3c25072b13b74a718db89c8e328075e6.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，且<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/0d1cc98436fe4338b3b7e0cfd16b8a4c.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">， 又a2＝b2＋c2，解得a＝2， 所以椭圆的标准方程为<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/07c8f4b6954b408082bb3cf4c44ca9da.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> （2）由（1）知，<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/59d22414aa9f486cbd6b4171e727c7d5.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">又<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/19aafa3dfbd448ffb01a472c1aa79d75.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">所以线段BF的垂直平分线的方程为y＝x，故可设圆心坐标为（t，t），半径为r. 又因为右准线方程为<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/29eba50e4cbb43079a0949dd3414fe69.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，从而 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/118137cd5e2047879b2e5352723fe8ec.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">解得<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/6dcd2f62d8cf412caaa00eac41375556.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">或<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/fa200298570545f5b0fc6beaa1305525.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">， 所以圆的方程为<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/894d38a8db1544ad88381d9cca5d2f8c.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">或<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/63aaa60881c340038c6fe0d6c6a9a2fe.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;"> （3）设直线m的方程为<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/33215f15a39547a6a67f2678c5ef936b.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，将直线m的方程代入椭圆方程，得 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/dd90acb0ab434da3a46b89a1da7eb24c.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">则<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/bb56e76dcd9f478bb0f35aeb6ae675f3.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">可得 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/754c5dca55fa435abc78a682dbdc00e5.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">所以 <img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/be03dbcc9bf5412ea092c6e60b183088.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">当且仅当<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/07ff92e135234646902708a154d04357.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">时，等号成立. 故S取得最大值<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/454d541469824497b5a3511f66f40e3a.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">，此时直线m的方程为<img src="https://img.huikao8.com/yiwen_img/importSubject/5b80f13429f348a0bd8f55d0f67ed5f4.png" alt="题目图片" style="max-width:100%;height:auto;vertical-align:middle;">